第6讲正弦定理和余弦定理一、选择题1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于()．A．135°B．105°C．45°D．75°解析由正弦定理知＝，即＝，所以sinA＝，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.答案C2．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为()．A．60°B．90°C．120°D．150°解析由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC，∴cosC＝－，∴C＝120°.答案C3．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝()．A.B.C.D．2解析 A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.又a＝1，b＝，∴＝，∴sinA＝＝×＝，∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝.答案C4．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()．A.B.C.D.解析设AB＝c，BC边上的高为h.由余弦定理，得AC2＝c2＋BC2－2BC·ccos60°，即7＝c2＋4－4ccos60°，即c2－2c－3＝0，∴c＝3(负值舍去)．又h＝c·sin60°＝3×＝，故选B.答案B5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()A．0B．1C．2D．无数个解析直接根据正弦定理可得＝，可得sinB＝＝＝>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0.答案A6．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于()．A．3＋B．3C．2＋D.解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为acsin＝，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋，故选A.答案A二、填空题7．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．解析在△ABC中， AB＝AC＝2，BC＝2，∴cosC＝，∴sinC＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝，∴AD＝×＝.答案8．已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，a,2a(a>0)，则最大边2a所对的角的余弦值为：＝－.答案－9．在Rt△ABC中，C＝90°，且A，B，C所对的边a，b，c满足a＋b＝cx，则实数x的取值范围是________．解析x＝＝＝sinA＋cosA＝sin.又A∈，∴
