题型练10大题综合练(二)1.在等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求数列{bn}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.2.为了调查高一新生中女生的体重情况,校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重(单位:kg),获得的所有数据按照区间(40,45],(45,50],(50,55],(55,60]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.已知样本中体重在区间(45,50]上的女生数与体重在区间(50,60]上的女生数之比为4∶3.(1)求a,b的值;(2)从样本中体重在区间(50,60]上的女生中随机抽取两人,求体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中的概率.3.如图,四边形ABCD为矩形,DA⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,BF⊥平面ACE于点F,且点F在CE上.(1)求证:AE⊥BE;(2)求三棱锥D-AEC的体积;(3)设点M在线段AB上,且满足AM=2MB,试在线段CE上确定一点N,使得MN∥平面DAE.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C过点(√3,12),焦点为F1(-√3,0),F2(√3,0),圆O的直径为F1F2.(1)求椭圆C及圆O的方程;(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P.①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;②直线l与椭圆C交于A,B两点.若△OAB的面积为2√67,求直线l的方程.5.(2019江西南昌二模,21)已知函数f(x)=lnx+ax,a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调区间;(2)当a=34时,证明:x3>f(x).题型练10大题综合练(二)1.解(1)设数列{an}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d=25.所以{an}的通项公式为an=2n+35.(2)由(1)知,bn=[2n+35].当n=1,2,3时,1≤2n+35<2,bn=1;当n=4,5时,2≤2n+35<3,bn=2;当n=6,7,8时,3≤2n+35<4,bn=3;当n=9,10时,4≤2n+35<5,bn=4.所以数列{bn}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.2.解(1)样本中体重在区间(45,50]上的女生有a×5×20=100a(人),样本中体重在区间(50,60]上的女生有(b+0.02)×5×20=100(b+0.02)(人),依题意,有100a=43×100(b+0.02),即a=43×(b+0.02).①根据频率分布直方图可知(0.02+b+0.06+a)×5=1,②解①②得:a=0.08,b=0.04.(2)样本中体重在区间(50,55]上的女生有0.04×5×20=4人,分别记为A1,A2,A3,A4,体重在区间(55,60]上的女生有0.02×5×20=2人,分别记为B1,B2.从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,A4),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A4),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).其中体重在(55,60]上的女生至少有一人共有9种情况:(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(A4,B1),(A4,B2),(B1,B2).记“从样本中体重在区间(50,60]上的女生随机抽取两人,体重在区间(55,60]上的女生至少有一人被抽中”为事件M,则P(M)=915=35.3.(1)证明 AD⊥平面ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面ABE,∴AE⊥BC.又BF⊥平面ACE,∴BF⊥AE, BC∩BF=B,∴AE⊥平面BCE,又BE⊂平面BCE,∴AE⊥BE.(2)解在△ABE中,过点E作EH⊥AB于点H,则EH⊥平面ACD.由已知及(1)得EH=12AB=√2,S△ADC=2√2.故VD-AEC=VE-ADC=13×2√2×√2=43.(3)解在△ABE中过点M作MG∥AE交BE于点G,在△BEC中,过点G作GN∥BC交BC于点N,连接MN,则由CNCE=BGBE=MBAB=13,得CN=13CE. MG∥AE,MG⊄平面ADE,AE⊂平面AED,∴MG∥平面ADE. GN∥BC,BC∥AD,∴GN∥平面ADE.∴平面MGN∥平面ADE.又MN⊂平面MGN,∴MN∥平面ADE.∴当点N为线段CE上靠近点C的一个三等分点时,MN∥平面ADE.4.解(1)因为椭圆C的焦点为F1(-√3,0),F2(√3,0),可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0).又点(√3,12)在椭圆C上,所以{3a2+14b2=1,a2-b2=3,解得{a2=4,b2=1.因此,椭圆C的方程为x24+y2=1.因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.(2)①设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x0>0,y0>0),则x02+y02=3,所以直线l的方程为y=-x0y0(x-x0)+y0,即y=-x0y0x+3y0.由{x24+y2=1,y=-x0y0x+3y0,消去y,得(4x02+y02)x2-24x0x+36-4y02=0.(*)因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=(-24x0)2-4(4x02+y02)(36-4y02)=48y02¿-2)=0.因为x0,y0>0,所以x0=√2,y0=1.因此,点P的坐标为(√2,1).②因为△OAB的面积为2√67,所以12AB·OP=2√67,从而AB=4√27.设A(x1,y1),B(x2,y2),由(*)得,x1,2=24x0±√48y02(x02-2)2(4x02+y02),所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+x02y02)·48...
