第四章平面向量与复数第1课时平面向量的概念与线性运算(对应学生用书(文)、(理)60～62页)①了解向量的实际背景；理解平面向量的基本概念和几何表示；理解向量相等的含义.②掌握向量加、减法和数乘运算，理解其几何意义；理解向量共线定理.③了解向量的线性运算性质及其几何意义．掌握向量加、减法、数乘的运算，以及两个向量共线的充要条件．1.(必修4P63练习第1题改编)如图在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且AB＝a，AD＝b，则BE＝________．答案：b－a解析：BE＝BA＋AD＋DC＝－a＋b＋a＝b－a.2.(必修4P65例4改编)在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝2DC，则AD＝________．(用b、c表示)答案：b＋c解析：因为BD＝2DC，所以AD－AB＝2(AC－AD)，即3AD＝AB＋2AC＝c＋2b，故AD＝b＋c.3.(必修4P63练习第6题改编)设四边形ABCD中，有DC＝AB且|AD|＝，则这个四边形是________．答案：等腰梯形解析：AB＝DCAB∥DC，且|AB|＝|DC|，∴ABCD为梯形．又|AD|＝|BC|，∴四边形ABCD的形状为等腰梯形．4.(必修4P66练习第2题改编)设a、b是两个不共线向量，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b.若A、B、D三点共线，则实数p＝________．答案：－1解析： BD＝BC＋CD＝2a－b，又A、B、D三点共线，∴存在实数λ，使AB＝λBD.即∴p＝－1.1.向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB|.(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(6)相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．2.向量加法与减法运算(1)向量的加法①定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法．②法则：三角形法则；平行四边形法则．③运算律：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(2)向量的减法①定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．②法则：三角形法则．3.向量的数乘运算及其几何意义(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a；②当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb．4.向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若AB＝DC，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有AB＝DC；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的命题有________．(填序号)答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故②不正确；AB＝DC，可能有A、B、C、D在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|·a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题个数是________．答案：3解析：向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②、③也是假命题，填3.题型2向量的线性表示例2平行四边形OADB的对角线交点为C，BM＝BC，CN＝CD，OA＝a，OB＝b，用a、b表示OM、ON、MN.解：BA＝a－b，BM＝BA＝a－b，OM＝OB＋BM＝a＋b.OD＝a＋b，ON＝OC＋CN＝OD＋OD＝OD＝a＋b.MN＝ON－OM＝a－b.如图所示，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表示向量OM.解：设OM＝ma＋nb，则AM＝O...
