第一部分专题三第二讲三角恒等变换与解三角形A组1．若2sin(θ＋)＝3sin(π－θ)，则tanθ等于(B)A．－B．C．D．2[解析]由已知得sinθ＋cosθ＝3sinθ，即2sinθ＝cosθ，所以tanθ＝，故选B．2．(文)如果sinα＝，那么sin(α＋)－cosα等于(A)A．B．－C．D．－[解析]sin(α＋)－cosα＝sinαcos＋cosαsin－cosα＝×＝.(理)已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(C)A．B．C．－D．－[解析]本题考查三角函数同角间的基本关系．将sinα＋2cosα＝两边平方可得，sin2α＋4sinαcosα＋4cos2α＝，∴4sinαcosα＋3cos2α＝，∴＝.将左边分子分母同除以cos2α得，＝，解得tanα＝3或tanα＝－，∴tan2α＝＝－.3．若三角形ABC中，sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，则此三角形的形状是(B)A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形[解析] sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2C，sin(A＋B)＝sinC≠0，∴sin(A－B)＝sin(A＋B)，∴cosAsinB＝0， sinB≠0，∴cosA＝0，∴A为直角．4．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝(B)A．5B．C．2D．1[解析]本题考查余弦定理及三角形的面积公式． S△ABC＝acsinB＝··1·sinB＝，∴sinB＝，∴B＝或.当B＝时，经计算△ABC为等腰直角三角形，不符合题意，舍去．∴B＝，根据余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，解得b＝，故选B．5．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝，且b(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0C”)[解析]设∠BAD＝α，∠CAD＝β，因为∠BAD＋∠C＝90°，所以α＝90°－C，β＝90°－B，因为D为BC的中点，所以S△ABD＝S△ACD，所以c·ADsinα＝b·ADsinβ，所以csinα＝bsinβ，所以ccosC＝bcosB，由正弦定理得，sinCcosC＝sinBcosB，即sin2C＝sin2B，所以2B＝2C或2B＋2C＝π，因为△ABC为锐角三角形，所以B＝C．9．为了竖起一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳定广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为2＋.[解析]由题意设BC＝x(x>1)米，AC＝t(t>0)米，依题设AB＝AC－0.5＝(t－0.5)米，在△ABC中，由余弦定理得：AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，化简并整理得：t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，因为x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，当且仅当x＝1＋时取等号，此时取最小值2＋.10．(2018·全国卷Ⅰ，17)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.(1)求cos∠ADB；(2)若DC＝2，求BC．[解析](1)在△ABD中，由正弦定理得＝.由题设知，＝，所以sin∠ADB＝.由题意知，∠ADB＜90°，所以cos∠ADB＝＝.(2)由题意及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝.在△BCD中，由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×2×＝25.所以BC＝5.11．(文)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2)．(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值．[解析](1)由asinA＝4bsinB及＝，得a＝2b.由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，得cosA＝＝＝－.(2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB中，得sinB＝＝.由(1)知，A为钝角，所以cosB＝＝.于是sin2...
