板块命题点专练(十二)圆锥曲线命题点一椭圆1.(2018·浙江高考)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m＞1)上两点A，B满足AP＝2PB，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AP＝2PB，得即x1＝－2x2，y1＝3－2y2.因为点A，B在椭圆上，所以解得y2＝m＋，所以x＝m－(3－2y2)2＝－m2＋m－＝－(m－5)2＋4≤4，所以当m＝5时，点B横坐标的绝对值最大．答案：52．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．解析：将y＝代入椭圆的标准方程，得＋＝1，所以x＝±a，故B，C.又因为F(c,0)，所以BF＝，CF＝.因为∠BFC＝90°，所以BF·CF＝0，所以＋2＝0，即c2－a2＋b2＝0，将b2＝a2－c2代入并化简，得a2＝c2，所以e2＝＝，所以e＝(负值舍去)．答案：3．(2017·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．解：(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以＝，＝8，解得a＝2，c＝1，于是b＝＝，因此椭圆E的标准方程是＋＝1.(2)由(1)知，F1(－1,0)，F2(1,0)．设P(x0，y0)，因为P为第一象限的点，故x0＞0，y0＞0.当x0＝1时，l2与l1相交于F1，与题设不符．当x0≠1时，直线PF1的斜率为，直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线l1的斜率为－，直线l2的斜率为－，从而直线l1的方程为y＝－(x＋1)，①直线l2的方程为y＝－(x－1)．②由①②，解得x＝－x0，y＝，所以Q.因为点Q在椭圆上，由对称性，得＝±y0，即x－y＝1或x＋y＝1.又点P在椭圆E上，故＋＝1.联立解得联立无解．因此点P的坐标为.4．(2018·北京高考)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k＝1，求|AB|的最大值；(3)设P(－2,0)，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D，若C，D和点Q共线，求k.解：(1)由题意得解得a＝，b＝1.所以椭圆M的方程为＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由得4x2＋6mx＋3m2－3＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝.所以|AB|＝＝＝＝.当m＝0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得x＋3y＝3，x＋3y＝3.直线PA的方程为y＝(x＋2)．由得[(x1＋2)2＋3y]x2＋12yx＋12y－3(x1＋2)2＝0.设C(xC，yC)，所以xC＋x1＝＝.所以xC＝－x1＝.所以yC＝(xC＋2)＝.设D(xD，yD)，同理得xD＝，yD＝.记直线CQ，DQ的斜率分别为kCQ，kDQ，则kCQ－kDQ＝－＝4(y1－y2－x1＋x2)．因为C，D，Q三点共线，所以kCQ－kDQ＝0.故y1－y2＝x1－x2.所以直线l的斜率k＝＝1.5．(2017·天津高考)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率；(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.①求直线FP的斜率；②求椭圆的方程．解：(1)设椭圆的离心率为e.由已知，可得(c＋a)c＝.又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，即2e2＋e－1＝0.又因为0＜e＜1，解得e＝.所以椭圆的离心率为.(2)①依题意，设直线FP的方程为x＝my－c(m＞0)，则直线FP的斜率为.由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程联立，可解得x＝，y＝，即点Q的坐标为.由已知|FQ|＝c，有2＋2＝2，整理得3m2－4m＝0，所以m＝，即直线FP的斜率为.②由a＝2c，可得b＝c，故椭圆方程可以表示为＋＝1.由①得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0，联立消去y，整理得7x2＋6cx－13c2＝0，解得x＝c或x＝－(舍去)．因此可得点P，进而可得|FP|＝＝，所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝－＝c.由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP...
