§21.2相互独立事件、n次独立重复试验的模型及二项分布五年高考考点一相互独立事件1.(2015课标Ⅰ改编,4,5分)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为.答案0.6482.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.解析(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.由题意,得A1与A2相互独立,A1与A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1+A2,C=B1+B2.因为P(A1)==,P(A2)==,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)=×=,P(B2)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=P(A1)P()+P()P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=×+×=.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=+=.(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为,所以X~B.于是P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.故X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)=3×=.3.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.解析(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=,P(A1)=,P(A0)=1--=;记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=,P(B1)=,P(B0)=1--=.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意得,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,得P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=×+×+×+×=,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为.(2)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(ξ=0)=P(A0B0)=×=,P(ξ=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=×+×=,P(ξ=2)=P(A1B1)=×=,P(ξ=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=×+×=,P(ξ=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=×+×=,P(ξ=6)=P(A3B3)=×=.可得随机变量ξ的分布列为ξ012346P所以数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.4.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.解析记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2,B表示事件:甲需使用设备,C表示事件:丁需使用设备,D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)D=A1·B·C+A2·B+A2··C,P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(Ai)=×0.52,i=0,1,2,(3分)所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P()P(C)=0.31.(6分)(2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=P(·A0·)=P()P(A0)P()=(1-0.6)×0.52×(1-0.4)=0.06,P(X=1)=P(B·A0·+·A0·C+·A1·)=P(B)P(A0)P()+P()P(A0)P(C)+P()P(A1)P()=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P(X=4)=P(A2·B·C)=P(A2)P(B)P(C)=0.52×0.6×0.4=0.06,P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25,P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4)=...
