高考数学一轮复习 第九章 解析几何 课时达标检测（四十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题-人教版高三数学试题VIP免费

课时达标检测(四十六）圆锥曲线中的最值、范围、证明问题一、全员必做题1．已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F2(1,0)，且该椭圆过定点M.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设点Q(2,0)，过点F2作直线l与椭圆E交于A，B两点，且F2A＝λF2B，λ∈[－2，－1]，以QA，QB为邻边作平行四边形QACB，求对角线QC长度的最小值．解：(1)由题易知c＝1，＋＝1，又a2＝b2＋c2，解得b2＝1，a2＝2，故椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设直线l：x＝ky＋1，由得(k2＋2)y2＋2ky－1＝0，Δ＝4k2＋4(k2＋2)＝8(k2＋1)＞0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得y1＋y2＝，y1y2＝.QC＝QA＋QB＝(x1＋x2－4，y1＋y2)＝，∴|QC|2＝|QA＋QB|2＝16－＋，由此可知，|QC|2的大小与k2的取值有关．由F2A＝λF2B可得y1＝λy2，λ＝，＝(y1y2≠0)．从而λ＋＝＋＝＝，由λ∈[－2，－1]得∈，从而－≤≤－2，解得0≤k2≤.令t＝，则t∈，∴|QC|2＝8t2－28t＋16＝82－，∴当t＝时，|QC|min＝2.2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.证明：OT平分线段PQ(其中O为坐标原点)．解：(1)由已知可得解得a2＝6，b2＝2，所以椭圆C的标准方程是＋＝1.(2)证明：由(1)可得，F的坐标是(－2,0)，设T点的坐标为(－3，m)，则直线TF的斜率kTF＝＝－m.当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝，直线PQ的方程是x＝my－2.当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得消去x，得(m2＋3)y2－4my－2＝0，其判别式Δ＝16m2＋8(m2＋3)>0.所以y1＋y2＝，y1y2＝，x1＋x2＝m(y1＋y2)－4＝.所以PQ的中点M的坐标为，所以直线OM的斜率kOM＝－.又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.3．(2018·南通模拟)已知中心在原点，焦点在y轴上的椭圆C，其上一点P到两个焦点F1，F2的距离之和为4，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线y＝kx＋1与曲线C交于A，B两点，求△OAB面积的取值范围．解：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，由条件知，解得a＝2，c＝，b＝1，故椭圆C的方程为＋x2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，故x1＋x2＝－，x1x2＝－，设△OAB的面积为S，由x1x2＝－＜0，知S＝×1×|x1－x2|＝＝2，令k2＋3＝t，知t≥3，∴S＝2.对函数y＝t＋(t≥3)，知y′＝1－＝＞0，∴y＝t＋在t∈[3，＋∞)上单调递增，∴t＋≥，∴0＜≤，∴0＜S≤.故△OAB面积的取值范围为.二、重点选做题1．(2018·丹阳期初)过离心率为的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点F(1,0)作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，设|FA|＝λ|FB|，T(2,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)若1≤λ≤2，求△ABT中AB边上中线长的取值范围．解：(1) e＝，c＝1，∴a＝，b＝1，即椭圆C的方程为：＋y2＝1.(2)①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线l：x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝，由|FA|＝λ|FB|，得y1＝－λy2， －λ＋＝＋，∴－λ＋＋2＝＝，∴m2≤，又 AB边上的中线长为|TA＋TB|＝＝＝∈.2．(2018·南京模拟)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线l与圆O：x2＋y2＝2相切，与椭圆C相交于P，Q两点.①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ.解：(1)由题意，得＝，＋＝1，结合a2－b2＝c2，解得a2＝6，b2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.(2)①椭圆C的右焦点F(，0)．显然切线的斜率存在，设切线方程为y＝k(x－)，即kx－y－k＝0，所以＝，解得k＝±，所以切线方程为y＝±(x－)．由方程组解得或所以点P，Q的坐标分别为，，，所以|PQ|＝.因为O到直线PQ的距离为d＝，所以△OPQ的面积为S＝|PQ|·d＝××＝.由椭圆的对称性知，当切线方程为y＝－(x－)时，△OPQ的面积也为.综上所述，△OPQ的面积为.②证明：(ⅰ)若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x＝或x＝－.当x＝时，P(，)，Q(，－)．因为OP·OQ＝0，所以OP⊥O...