高考数学一轮复习 第七章 不等式 课时达标检测（三十四）基本不等式-人教版高三数学试题VIP免费

课时达标检测(三十四）基本不等式[练基础小题——强化运算能力]1．设a，b＞0，a＋b＝5，则＋的最大值为________．解析：令t＝＋，则t2＝a＋1＋b＋3＋2＝9＋2≤9＋a＋1＋b＋3＝13＋a＋b＝13＋5＝18，当且仅当a＋1＝b＋3时取等号，此时a＝，b＝.∴tmax＝＝3.答案：32．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．解析：由＋＝，知a＞0，b＞0，所以＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当即a＝，b＝2时取等号，所以ab的最小值为2.答案：23．(2018·无锡期中考试)已知实数x，y满足y＝22－log2x，则＋的最小值为________．解析：由y＝22－log2x得y＝即xy＝4,x＞0，y＞0，所以＋≥2＝，当且仅当即时取等号．答案：4．(2018·常州高级中学模拟)在△ABC中，D为BC边的中点，AD＝1，点P在线段AD上，则PA(PB＋PC)的最小值为________．解析：依题意得，PA·(PB＋PC)＝2PA·PD＝－2|PA|·|PD|≥－22＝－＝－，当且仅当|PA|＝|PD|＝时取等号，因此PA·(PB＋PC)的最小值是－.答案：－5．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.答案：36[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·泰州市口岸中学模拟)若两个正实数x，y满足＋＝1，并且x＋2y＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：x＋2y＝(x＋2y)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y＝4时等号成立．由x＋2y＞m2＋2m恒成立，可知m2＋2m＜8，即m2＋2m－8＜0，解得－4＜m＜2.答案：(－4,2)2．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是________．解析： 1＝2x＋2y≥2＝2当且仅当2x＝2y＝，即x＝y＝－1时等号成立，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2.答案：(－∞，－2]3．(2018·徐州期初)已知正实数a，b满足a＋2b＝1，则a2＋4b2＋的最小值为________．解析：因为a＞0，b＞0,1＝a＋2b≥2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝时取等号，又因为a2＋4b2＋≥2a·(2b)＋＝4ab＋，令t＝ab，所以f(t)＝4t＋，因为f(t)在上单调递减，所以f(t)min＝f＝，此时a＝2b＝.答案：4．(2018·铜陵模拟)已知a＞－1，b＞－2，(a＋1)(b＋2)＝16，则a＋b的最小值是________．解析：因为a＞－1，b＞－2，所以a＋1＞0，b＋2＞0，又(a＋1)(b＋2)≤2，即16≤2，整理得a＋b≥5，当且仅当a＋1＝b＋2＝4，即a＝3，b＝2时等号成立．答案：55．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋＜m2－3m有解，则实数m的取值范围是________．解析： 不等式x＋＜m2－3m有解，∴x＋min＜m2－3m， x＞0，y＞0，且＋＝1，∴x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时取等号，∴min＝4，∴m2－3m＞4，即(m＋1)(m－4)＞0，解得m＜－1或m＞4，故实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0.则当取得最大值时，＋－的最大值为________．解析：＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，此时z＝2y2，＋－＝－＋＝－2＋1≤1，当且仅当y＝1时等号成立，故所求的最大值为1.答案：17．已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是________．解析：由题意知：ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4＝4.当且仅当a＝b＝1时取等号．答案：48．(2018·淮安期初)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．解析：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即3a＋4b＝ab，且即a＞0，b＞0，所以＋＝1(a＞0，b＞0)，所以a＋b＝(a＋b)·＝7＋＋≥7＋2＝7＋4，当且仅当＝时取等号．答案：7＋49．(2018·徐州期中考试)已知实数x，y满足x2＋y2＝3，|x|≠|y|，则＋的最小值为________．解析：设(2x＋y)2＝m＞0，(x－2y)2＝n＞0，则m＋n＝15，＋＝(m＋n)·＝≥.当且仅当即时取等号．答案：10.(2017·山西二模)为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为________米．解析：由题意设BC＝x(x＞1)，AC＝t(t＞0)，依题设AB＝AC－0.5＝t－0.5，在△ABC中，由余弦定理得AB2...