高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 课时达标检测（十六）导数与函数的极值、最值-人教版高三数学试题VIP免费

课时达标检测(十六）导数与函数的极值、最值一、全员必做题1.(2018·南京金陵中学月考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则f(x)在(－4,2)上的所有极值点之和为________．解析：根据函数y＝(1－x)f′(x)的图象知，当x＜－1时，y＝(1－x)f′(x)＜0,1－x＞0，f′(x)＜0，函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1＜x＜1时，y＝(1－x)f′(x)＞0,1－x＞0，f′(x)＞0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增，当x＞1时，y＝(1－x)f′(x)＜0,1－x＜0，f′(x)＞0，函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以x＝－1是f(x)的极小值点，且f(x)在(－4,2)上无极大值点，所以f(x)在(－4,2)上的所有极值点之和为－1.答案：－12．已知函数f(x)＝x3＋3x2－9x＋1，若f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k的取值范围为________．解析：由题意知f′(x)＝3x2＋6x－9，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝－3，所以f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x(－∞，－3)－3(－3,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增又f(－3)＝28，f(1)＝－4，f(2)＝3，f(x)在区间[k,2]上的最大值为28，所以k≤－3.答案：(－∞，－3]3．(2018·江苏省赣榆高级中学模拟)已知函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在区间(0,1)内无极值点，则a的取值范围是____________．解析：由题意得f′(x)＝2x＋2＋在区间(0,1)内不变号，即f′(x)＝2x＋2＋≥0在区间(0,1)内恒成立或f′(x)＝2x＋2＋≤0在区间(0,1)内恒成立，因此a≥[－2x(x＋1)]max，x∈(0,1)，而－2x(x＋1)＜0，所以a≥0；或a≤[－2x(x＋1)]min，x∈(0,1)，而－2x(x＋1)＞－4，所以a≤－4.综上a的取值范围是(－∞，－4]∪[0，＋∞)．答案：(－∞，－4]∪[0，＋∞)4．已知函数f(x)＝(k≠0)．求函数f(x)的极值．解：f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－.令f′(x)＝0，得x＝1，当k＞0时，若0＜x＜1，则f′(x)＞0；若x＞1，则f′(x)＜0，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，即当x＝1时，函数f(x)取得极大值.当k＜0时，若0＜x＜1，则f′(x)＜0；若x＞1，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，即当x＝1时，函数f(x)取得极小值.5．(2018·连云港模拟)已知函数f(x)＝ax－－3lnx，其中a为常数．(1)当函数f(x)的图象在点处的切线的斜率为1时，求函数f(x)在上的最小值；(2)若函数f(x)在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，求a的取值范围．解：(1)因为f′(x)＝a＋－，所以f′＝a＝1，故f(x)＝x－－3lnx，则f′(x)＝.由f′(x)＝0得x＝1或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x2(2,3)3f′(x)－0＋f(x)1－3ln2从而在上f(x)有最小值，且最小值为f(2)＝1－3ln2.(2)f′(x)＝a＋－＝(x＞0)，由题设可得方程ax2－3x＋2＝0有两个不等的正实根，不妨设这两个根为x1，x2，且x1≠x2，则解得0＜a＜.故所求a的取值范围为.二、重点选做题1．(2018·昆明模拟)已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x.(1)当a＝－4时，求f(x)的极值；(2)当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围．解：(1)由已知得f(x)的定义域为x∈(0，＋∞)，f′(x)＝＋2＝.当a＝－4时，f′(x)＝.所以当0＜x＜2时，f′(x)＜0，即f(x)单调递减；当x＞2时，f′(x)＞0，即f(x)单调递增．所以f(x)只有极小值，且在x＝2时，f(x)取得极小值f(2)＝4－4ln2.所以当a＝－4时，f(x)只有极小值4－4ln2.(2)因为f′(x)＝，所以当a＞0，x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，即f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，没有最小值；当a＜0时，由f′(x)＞0得，x＞－，所以f(x)在上单调递增；由f′(x)＜0得，x＜－，所以f(x)在上单调递减．所以当a＜0时，f(x)的最小值为f＝aln＋2.根据题意得f＝aln＋2≥－a，即a[ln(－a)－ln2]≥0.因为a＜0，所以ln(－a)－ln2≤0，解得a≥－2，所以实数a的取值范围是[－2,0)．2．已知函数f(x)＝(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值．解：(1)当x＜1时，f′(x)＝－3x2＋2x＝－x(3x－2)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0...