课时达标检测(二十七）向量的数量积及其应用[练基础小题——强化运算能力]1．已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，则a·b＝________.解析： |a|cos〈a，b〉＝4，|b|＝3，∴a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝3×4＝12.答案：122．已知平面向量a＝(－2，m)，b＝(1，)，且(a－b)⊥b，则实数m的值为________．解析：因为a＝(－2，m)，b＝(1，)，所以a－b＝(－2，m)－(1，)＝(－3，m－)．由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，即(－3，m－)·(1，)＝－3＋m－3＝m－6＝0，解得m＝2.答案：23．设向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝，a·(a－b)＝0，则|2a＋b|＝________.解析：由a·(a－b)＝0，可得a·b＝a2＝1，由|a－b|＝，可得(a－b)2＝3，即a2－2a·b＋b2＝3，解得b2＝4.所以(2a＋b)2＝4a2＋4a·b＋b2＝12，所以|2a＋b|＝2.答案：24．(2018·洛阳质检)已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角为________．解析：a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以向量a与b的夹角为.答案：5．设向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.解析： |a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2，∴a·b＝0.又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.答案：－2[练常考题点——检验高考能力]一、填空题1．(2018·常州期初测试)若两个非零向量a，b的夹角为60°，且(a＋2b)⊥(a－2b)，则向量a＋b与a－b的夹角的余弦值是________．解析：因为(a＋2b)⊥(a－2b)，所以(a＋2b)·(a－2b)＝0，即a2－4b2＝0，所以|a|＝2|b|.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝7|b|2,|a＋b|＝|b|，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝3|b|2,|a－b|＝|b|，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝3|b|2，所以向量a＋b与a－b的夹角的余弦值cosθ＝.答案：2．(2018·南京模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝________.解析：由四边形ABCD是平行四边形，知AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，故AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝2×3＋1×(－1)＝5.答案：53．(2018·姜堰月考)在△ABC中，若AB＝3，AC＝2，BC＝3BD，AB·AD＝7，则△ABC的面积为________．解析：因为BC＝3BD，所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.所以AB·AD＝AB·＝AB2＋AB·AC＝×32＋×3×2cosA＝7，解得cosA＝，又A∈(0，π)，∴A＝.所以S△ABC＝×3×2sin＝.答案：4．已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为________．解析： n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×|n|2×＋|n|2＝0，解得t＝－4.答案：－45．(2018·如皋月考)在△ABC中，若BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB，则的值为________．解析：由BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB得accosB＋2bccosA＝abcosC.由余弦定理得＋2×＝，即a2＝2c2，所以＝.由正弦定理得＝＝.答案：6．(2017·天津高考)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为________．解析：法一：AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.又AB·AC＝3×2×＝3，所以AD·AE＝·(－AB＋λAC)＝－AB2＋AB·AC＋λAC2＝－3＋3＋λ×4＝λ－5＝－4，解得λ＝.法二：以点A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，不妨假设点C在第一象限，则A(0,0)，B(3,0)，C(1，)．由BD＝2DC，得D，由AE＝λAC－AB，得E(λ－3，λ)，则AD·AE＝·(λ－3，λ)＝(λ－3)＋×λ＝λ－5＝－4，解得λ＝.答案：7．(2018·姜堰月考)在△ABC中，AB＝6，AC＝2，∠BAC＝，若AM＝xAB＋yAC，且3x＋y＝1，则|AM|的最小值为________．解析：因为AM＝xAB＋yAC,3x＋y＝1，所以|AM|2＝(xAB＋yAC)2＝x2AB2－2xyAB·AC＋y2AC2＝36x2＋12xy＋4y2＝4(3x＋y)2－36xy≥4－122＝1.当且仅当3x＝y即x＝，y＝时取等号．答案：18．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1,1，，OA与OC的夹角为α，且tanα＝7，OB与OC的夹角为45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则m＋n＝________.解析：法一：如图，以O为坐标原点，OA所...
