第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是x＝________．[解析]a⊥b⇔2(x－1)＋2＝0，得x＝0.[答案]02．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是________．[解析]原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”．[答案]“若一个数的平方是正数，则这个数是负数”3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的________条件．[解析]当a＝3时A＝{1，3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.[答案]充分不必要4．已知p：“a＝”，q：“直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切”，则p是q的________条件．[解析]由直线x＋y＝0与圆x2＋(y－a)2＝1相切得，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离等于圆的半径，即有＝1，a＝±.因此，p是q的充分不必要条件．[答案]充分不必要5．命题：“若x2<1，则－1
m＋1”是“x2－2x－3>0”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．[解析]由已知设M＝{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，N＝{x|xm＋1}，则N是M的必要不充分条件，所以MN.所以，所以0≤m≤2.[答案][0，2]10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x4.[答案](4，＋∞)11．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－22”是“<”的充分不必要条件；④一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．其中说法不正确的序号是________．[解析]①逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系，故①错误；②此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，②错误；③<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件，故③正确；④否命题和逆命题是互为逆否命题，真假性相同，故④正确．[答案]①②13．(2018·南通数学学科基地命题)△ABC中，“角A，B，C成等差数列”是“sinC＝(cosA＋sinA)cosB”成立的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一)[解析]条件“△ABC中，角A，B，C成等差数列”⇔B＝；结论“sinC＝(cosA＋sinA)cosB”⇔sin(A＋B)＝cosA·cosB＋sinAcosB⇔cosAsinB＝cos...
