高三必过关题3函数（3）一、填空题例1一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时间时的瞬时速度为米/秒．答：5提示：时间时的瞬时速度即为.例2已知函数，则答：0提示：，令求出例3（泰州市13年第一学期期末）曲线在点(e,2)处的切线与y轴交点的坐标为_____________答:(0,0)提示：函数的导数为，所以在的切线斜率为，所以切线方程为，即．例4(2012年兴化)已知函数，（），，若图象在处的切线方程为，则函数的最小值是答:0提示： 图像在处的切线方程为，，∴，求出例5(2012北京高考)已知函数.若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，则==答:=3=3提示：由为公共切点可得：，则，，，则，，又，，，即，代入①式可得：．例6（2012南通一模）设P是函数图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为，则的取值范围是答:提示：，所以.例7（南通13年高三第三次调研）过点作曲线：的切线，切点为，设在轴上的投影是点，过点再作曲线的切线，切点为，设在轴上的投影是点，…，依次下去，得到第个切点．则点的坐标为．答：提示:设，切线方程为,代入：；，切线方程为,代入：,依次，，本题考查点不在曲线上求切线方程时，可设切点.例8（2012苏州高三期末）函数的单调减区间为______________.答:提示：，注意定义域中的.例9若函数在上单调递增，则实数的取值范围是。答：．提示：恒成立，即例10函数存在极值的充要条件是答:提示：对于三次函数存在极值的条件是导函数存在两个零点，有极值必有两个。例11函数(为常数)在（为自然对数的底数)上有最小值1，则此函数在上的最大值是．答：．提示 ，∴在单调递减，单调递增，∴当时，最小，∴，从而与比较大小．例12（扬州13年第一学期期末）已知函数在区间（为自然对数的底数)上取得最小值4,则____.答：提示：当时，在单调递增，（舍去）；当时，在单调递减，；当时，在单调递减，单调递增，（舍去）例13（13年苏锡常镇四市高调研（二））分别在曲线与直线上各取一点与,则的最小值为_____.答：提示：曲线上斜率的切线与直线两平行线间的距离，即为的最小值。本题考查几何位置在导数中的应用。例14（2012盐城二检）设是定义在上的可导函数，且满足.则不等式的解集为．答：；提示：令，则，∴为增函数，不等式可化为，即，由，本题考查如何构造函数.例15等比数列中，，函数（为常数），则曲线在点处的切线方程为.答：提示：的展开式从最高次项为降到最低次项为和常数项，.例16（苏州11年高三调研）在平面直角坐标系中，点是第一象限内曲线上的一个动点，点处的切线与两个坐标轴交于两点,则的面积的最小值为.答：提示：设切点为，则切线的斜率，切线方程为，，所以例17(13年南京二模)关于的不等式对任意恒成立，则实数的值为___答：提示：恒成立，；不等式恒成立；恒成立，，综上，.本题考查学生对不等式性质在恒成立中的应用.例18（南通13年基地正卷）用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，该长方体的最大体积是________答：3提示：设长为,宽为，高为（），体积，利用导数求解可得.例19已知为实数，，函数,若.则函数在上的取值范围为.答：提示：由题意知解得.则函数在上单调递增，在单调递减，所以函数，，由，所以函数的值域为．例20（2012南通期末）函数的值域是___________.答：．提示：易想到但不适宜的解法：由f′(x)=0，得x=－1－，1－，－1+，1+，所以f(x)在x=－1－与－1+处取得极小值，在1－与1+处取得极大值，f(－1－)=－，f(1+)=．故所求值域是［－，］．（此解法运算量大，很费时）其图像大致如下。另解：f(x)=，当x=0时，f(x)=0，当x≠0，f(x)==，令，代入，得g(t)=f(x)=∈．（或解令x=tanα，则=－sin4α∈［－，］．此解法需学生熟练万能公式）本题考查综合应用函数知识的能力，利用导数求函数的最值问题的方法与步骤．二、解答题例21(镇江13年高三一模）已知,函数R)图象上相异两点处的切线分别为，且∥.（1）判断函数的奇偶性；并判断是否关于原点对称；（2）若直线都与垂直，求实数的取值范围.答：（1），为奇函数.设且,又，在两个相异点处的切线分别为,且∥，，...
