3个附加题综合仿真练(一)1.本题包括A、B、C、D四个小题，请任选二个作答A．[选修4－1：几何证明选讲]如图，A，B，C是圆O上不共线的三点，OD⊥AB于D，BC和AC分别交DO的延长线于P和Q，求证：∠OBP＝∠CQP.证明：连结OA，因为OD⊥AB，OA＝OB，所以∠BOD＝∠AOD＝∠AOB，又∠ACB＝∠AOB，所以∠ACB＝∠DOB，又因为∠BOP＝180°－∠DOB，∠QCP＝180°－∠ACB，所以∠BOP＝∠QCP，所以B，O，C，Q四点共圆，所以∠OBP＝∠CQP.B．[选修4－2：矩阵与变换]已知矩阵A＝，B＝.求矩阵C，使得AC＝B.解：因为＝2×3－1×1＝5,所以A－1＝，又AC＝B，所以C＝A－1B＝＝.C．[选修4－4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知圆C的圆心在极轴上，且过极点和点，求圆C的极坐标方程．解：法一：因为圆心C在极轴上且过极点，所以设圆C的极坐标方程为ρ＝acosθ，又因为点在圆C上，所以3＝acos，解得a＝6.所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.法二：点的直角坐标为(3,3)，因为圆C过点(0,0)，(3,3)，所以圆心C在直线为x＋y－3＝0上．又圆心C在极轴上，所以圆C的直角坐标方程为(x－3)2＋y2＝9.所以圆C的极坐标方程为ρ＝6cosθ.D．[选修4－5：不等式选讲]已知x，y，z为不全相等的正数．求证：＋＋>＋＋.证明：因为x，y，z都是正数，所以＋＝≥.同理可得＋≥，＋≥，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得＋＋≥＋＋.由于x，y，z不全相等，因此上述三个不等式中等号至少有一个取不到，所以＋＋>＋＋.2．口袋中装有大小相同的卡片八张，其中三张标有数字1，三张标有数字2，两张标有数字3.第一次从口袋中任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.(1)ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由；(2)求随机变量ξ的数学期望E(ξ)．解：(1)依题意，随机变量ξ的取值是2,3,4,5,6.因为P(ξ＝2)＝＝；P(ξ＝3)＝＝；P(ξ＝4)＝＝；P(ξ＝5)＝＝；P(ξ＝6)＝＝.所以当ξ＝4时，其发生的概率最大，最大值为P(ξ＝4)＝.(2)由(1)知E(ξ)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝，所以随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝.3．在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＝－1，点T(3,0)．动点P满足PS⊥l，垂足为S，且OP·ST＝0.设动点P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设Q是曲线C上异于点P的另一点，且直线PQ过点(1,0)，线段PQ的中点为M，直线l与x轴的交点为N.求证：向量SM与NQ共线．解：(1)设P(x，y)为曲线C上任意一点.因为PS⊥l，垂足为S，又直线l：x＝－1，所以S(－1，y)．因为T(3,0)，所以OP＝(x，y)，ST＝(4，－y)．因为OP·ST＝0，所以4x－y2＝0，即y2＝4x.所以曲线C的方程为y2＝4x.(2)证明：因为直线PQ过点(1,0)，故设直线PQ的方程为x＝my＋1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．联立方程消去x，得y2－4my－4＝0.所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.因为M为线段PQ的中点，所以M的坐标为，即M(2m2＋1,2m)．又因为S(－1，y1)，N(－1,0)，所以SM＝(2m2＋2,2m－y1)，NQ＝(x2＋1，y2)＝(my2＋2，y2).因为(2m2＋2)y2－(2m－y1)(my2＋2)＝(2m2＋2)y2－2m2y2＋my1y2－4m＋2y1＝2(y1＋y2)＋my1y2－4m＝8m－4m－4m＝0.所以向量SM与NQ共线．
