第3讲基本不等式1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)的最大值为________．解析：因为x＜0，所以f(x)＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号．答案：－42．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________(填序号)．①a2＋b2>2ab；②a＋b≥2；③＋>；④＋≥2.解析：因为a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以①错误．对于②、③，当a<0，b<0时，明显错误．对于④，因为ab>0，所以＋≥2＝2.答案：④3．已知函数f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a＝________．解析：f(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即a＝4x2时取等号，则由题意知a＝4×32＝36.答案：364．(2018·江苏省高考名校联考(一))已知实数x，y满足xy＋6＝x＋9y，且y∈(1，＋∞)，则(x＋3)(y＋1)的最小值为________．解析：由条件知x＝，则(x＋3)(y＋1)＝＝12(y－1)＋＋27.又y∈(1，＋∞)，所以y－1∈(0，＋∞)，故(x＋3)(y＋1)＝12(y－1)＋＋27≥12＋27，当且仅当y＝1＋时取等号．答案：27＋125．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥2＝20，当且仅当＝，即x＝80时取等号．答案：806．(2018·浙江省七校模拟)已知实数x>0，y>0，lg2x＋lg8y＝lg2，则＋的最小值是________．解析：由已知，得lg(2x·8y)＝lg2，所以2x·8y＝2，即2x·23y＝2，即x＋3y＝1，所以＋＝(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2，当且仅当x＝y时，等号成立．答案：4＋27．不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是________．解析：根据题意，由于不等式x2＋x<＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则x2＋x<，因为＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，所以x2＋x<2，求解此一元二次不等式可知－20，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝.得xy≥64，当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．所以xy的最小值为64.(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18.当且仅当x＝12且y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.12．某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元(科技成本)，并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本)，预计产量年递增10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为g(n)＝(k>0，k为常数，n∈Z且n≥0)，若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为f(n)万元．(1)求k的值，并求出f(n)的表达式；(2)问从今年算起第几年年利润最高？最高年利润为多少万元？解：(1)因为g(n)＝，由已知得g(0)＝8，所以k＝8，所以f(n)＝(100＋10n)－100n(n∈Z且n≥0)．(2)f(n)＝(100＋10n)－100n＝1000－80＝1000－80≤1000－80×2＝520，当且仅当＝，即n＝8时取等号，所以第8年工厂的年利润最高，且最高为520万元．1．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值为________．解析：由＋＋≥0得k≥－，而＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－≤－4，因此要使k≥－恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值为－4...
