§15.2双曲线考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.双曲线的定义和标准方程求双曲线的标准方程A填空题★★☆2.双曲线的性质双曲线的几何性质及简单运用A12题5分3题5分8题5分填空题★★☆分析解读双曲线作为一种重要的圆锥曲线,考查的频度比较高,试题难度一般中等偏下,复习时不要过度挖掘.五年高考考点一双曲线的定义和标准方程1.(2017课标全国Ⅲ理改编,5,5分)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为.答案-=12.(2017天津文改编,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点),则双曲线的方程为.答案x2-=13.(2017天津理改编,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为.答案-=14.(2015天津改编,6,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为.答案-=15.(2015广东改编,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为.答案-=16.(2014天津改编,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.答案-=1教师用书专用(7—8)7.(2013广东理改编,7,5分)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是.答案-=18.(2014福建,19,13分)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.(1)求双曲线E的离心率;(2)如图,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.解析(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,所以=2,所以=2,故c=a,从而双曲线E的离心率e==.(2)解法一:由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a,又因为△OAB的面积为8,所以|OC|·|AB|=8,因此a·4a=8,解得a=2,此时双曲线E的方程为-=1.若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为-=1.以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:-=1也满足条件.设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k<-2,则C.记A(x1,y1),B(x2,y2).由得y1=,同理得y2=.由S△OAB=|OC|·|y1-y2|得,·=8,即m2=4|4-k2|=4(k2-4).由得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.因为4-k2<0,所以Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16),又因为m2=4(k2-4),所以Δ=0,即l与双曲线E有且只有一个公共点.因此,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.解法二:由(1)知,双曲线E的方程为-=1.设直线l的方程为x=my+t,A(x1,y1),B(x2,y2).依题意得-2或k<-2.由得(4-k2)x2-2kmx-m2=0,因为4-k2<0,Δ>0,所以x1x2=,又因为△OAB的面积为8,所以|OA|·|OB|·sin∠AOB=8,又易知sin∠AOB=,所以·=8,化简得x1x2=4.所以=4,即m2=4(k2-4).由(1)得双曲线E的方程为-=1,由得(4-k2)x2-2kmx-m2-4a2=0,因为4-k2<0,直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+4a2)=0,即(k2-4)(a2-4)=0,所以a2=4,所以双曲线E的方程为-=1.当l⊥x轴时,由△OAB的面积等于8可得l:x=2,又易知l:x=2与双曲线E:-=1有且只有一个公共点.综上所述,存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为-=1.考点二双曲线的性质1.(2017江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q...
