课时跟踪检测（三十二）数列的综合问题1．已知各项都不小于1的数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝－2
(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝＋1，从数列{bn}中抽取部分项b1，b9，bn3，bn4，…，bnk，…，按从小到大的顺序构成等比数列．①求{nk}的通项公式；②记ck＝数列{ck}的前k项和是Tk，求证：Tk＜
解：(1)由an＝－2，移项并平方得(an＋2)2＝a＋4an＋4＝6Sn＋3n，则a＋4an－1＋4＝6Sn－1＋3(n－1)，n≥2，两式相减得，a－a＋4an－4an－1＝6an＋3，n≥2，即a－2an＋1＝a＋4an－1＋4，n≥2，即(an－1)2＝(an－1＋2)2，n≥2
又an≥1，所以an－1＝an－1＋2，n≥2，即an－an－1＝3，n≥2，又a1＋2＝，所以a－2a1＋1＝0，解得a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，故an＝1＋3(n－1)＝3n－2
(2)①由bn＝＋1，得b1＝2，b9＝6，故等比数列的首项为2，公比为3，则bnk＝2×3k－1＝＋1
化简得nk＝4×32k－3－4×3k－2＋1
②证明：由题意可得T1＝＜，T2＝＋＝＜，当k≥3，k∈N*时，ck＝＝＝＝
则Tk＝c1＋c2＋…＋ck＝＋＝＋＝－×＜，综上，Tk＜
2．设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，均有Sn＝an＋k－k(k是常数且k∈N*)成立，则称数列{an}为“P(k)数列”．(1)若数列{an}为“P(1)数列”，求数列{an}的通项公式；(2)是否存在数列{an}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”
若存在，求出符合条件的数列{an}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；(3)若数列{an}为“P(2)数列”，a2＝2，设Tn＝＋＋＋…＋，证明：Tn＜3
