课时跟踪检测（十四）导数与函数的单调性一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2015·镇江模拟)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是________．解析：函数f(x)＝(x－3)ex的导数为f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f′(x)＞0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f′(x)＝(x－2)ex＞0，解得x＞2.答案：(2，＋∞)2．设函数f(x)＝x3＋ax2＋5x＋6在区间[1,3]上是单调函数，则实数a的取值范围是________．解析：依题意，知当x∈[1,3]时，f′(x)＝x2＋2ax＋5的值恒不小于0或恒不大于0.若当x∈[1,3]时，f′(x)＝x2＋2ax＋5≥0，即有－2a≤x＋在[1,3]上恒成立，而x＋≥2＝2(当且仅当x＝时取等号)，故－2a≤2，解得a≥－.若当x∈[1,3]时，f′(x)＝x2＋2ax＋5≤0，即有－2a≥x＋恒成立，注意到函数g(x)＝x＋在[1，]上是减函数，在[，3]上是增函数，且g(1)＝6>g(3)＝，因此－2a≥6，解得a≤－3.综上所述，实数a的取值范围是(－∞，－3]∪[－，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[－，＋∞)3．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上的单调情况是________．解析：在(0,2π)上有f′(x)＝1－cosx＞0，所以f(x)在(0,2π)上单调递增．答案：单调递增4．(2016·启东模拟)已知a≥1，f(x)＝x3＋3|x－a|，若函数f(x)在[－1,1]上的最大值和最小值分别记为M，m，则M－m的值为________．解析：当x∈[－1,1]时，f(x)＝x3＋3(a－x)＝x3－3x＋3a(a≥1)，∴f′(x)＝3(x－1)(x＋1)．当－1＜x＜1时，f′(x)＜0，所以原函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减，所以M＝f(－1)＝3a＋2，m＝f(1)＝3a－2，所以M－m＝4.答案：45．(2016·苏州测试)已知函数f(x)＝x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．解析：f′(x)＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立， max＝，∴2a≥，即a≥.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．解析：由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)＜0，即3(x－11)(x＋1)＜0，解得－1＜x＜11，所以函数f(x)的单调减区间为(－1,11)．答案：(－1,11)2．若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)＝exf(x)的单调递减区间为________．解析：设幂函数f(x)＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f(x)＝x2，故g(x)＝exx2，令g′(x)＝exx2＋2exx＝ex(x2＋2x)＜0，得－2＜x＜0，故函数g(x)的单调递减区间为(－2,0)．答案：(－2,0)3．(2016·南通、扬州、淮安、连云港调研)设f(x)＝4x3＋mx2＋(m－3)x＋n(m，n∈R)是R上的单调增函数，则实数m的值为________．解析：因为f′(x)＝12x2＋2mx＋m－3，又函数f(x)是R上的单调增函数，所以12x2＋2mx＋m－3≥0在R上恒成立，所以(2m)2－4×12(m－3)≤0，整理得m2－12m＋36≤0，即(m－6)2≤0.又因为(m－6)2≥0，所以(m－6)2＝0，所以m＝6.答案：64．已知函数f(x)＝x＋在(－∞，－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．解析：函数f(x)＝x＋的导数为f′(x)＝1－，由于f(x)在(－∞，－1)上单调递增，则f′(x)≥0在(－∞，－1)上恒成立，即≤x2在(－∞，－1)上恒成立．由于当x＜－1时，x2＞1，则有≤1，解得a≥1或a＜0.答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)5．(2015·南通、扬州、泰州、淮安三调)已知函数f(x)＝若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为________．解析：由f(x)＝2x3＋3x2＋m，得f′(x)＝6x2＋6x，所以f(x)在[0,1]上单调递增，即f(x)＝2x3＋3x2＋m与x轴至多有一个交点，要使函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，即从而可得m∈(－5,0)．答案：(－5,0)6．若函数f(x)＝ax3－3x在(－1,1)上为单调递减函数，则实数a的取值范围是________．解析：f′(x)＝3ax2－3， f(x)在(－1,1)上为单调递减函数，∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，即3ax2－3≤0在(－1,1)上恒成立．当x＝0时，a∈R；当x≠0时，a≤， x∈(－1,0)∪(0,1)，∴a≤1.综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]7．(2016·盐城中学模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集...
