小题考法专训（四）空间几何体与空间位置关系A级——保分小题落实练一、选择题1.已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A到C的路径中，最短路径的长度为()A．2B．2C．3D．2解析：选A如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2，则在此圆柱侧面上从A到C的最短路径为线段AC，AC＝＝2.故选A.2．已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题：①若a∥b，b∥α，则a∥α；②若a⊥b，b⊥α，c⊥α，则a⊥c；③若a⊥b，b⊥α，则a∥α；④若a∥b，b∥α，b⊂β，α∩β＝c，则a∥c.其中错误命题的序号是()A．①③B．②④C．③④D．①②解析：选A对于①，由a∥b，b∥α，可得a∥α或a⊂α，故①错误；对于②，由b⊥α，c⊥α得b∥c，又a⊥b，所以a⊥c.故②正确；对于③，由a⊥b，b⊥α，可得a∥α或a⊂α，故③错误；对于④，由b∥α，b⊂β，α∩β＝c得b∥c，又a∥b，所以a∥c，④正确．综上所述，错误命题的序号是①③，选A.3．设一个球形西瓜，切下一刀后所得切面圆的半径为4，球心到切面圆心的距离为3，则该西瓜的体积为()A．100πB．πC.πD．π解析：选D因为切面圆的半径r＝4，球心到切面的距离d＝3，所以球的半径R＝＝＝5，故球的体积V＝πR3＝π×53＝π，即该西瓜的体积为π.4．(2019·广州综合测试)如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为矩形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面结论：①直线BE与直线CF异面；②直线BE与直线AF异面；③直线EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正确的结论个数为()A．4B．3C．2D．1解析：选C将平面展开图还原成直观图如图所示． E，F分别为PA，PD的中点，∴EF∥AD.又四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴EF∥BC，∴B，C，F，E四点共面．∴直线BE与直线CF共面，不是异面直线，故①错误； E∈平面PAD，AF⊂平面PAD，点E不在直线AF上，B∉平面PAD，∴直线BE与直线AF为异面直线，故②正确； EF∥BC，BC⊂平面PBC，EF⊄平面PBC，∴EF∥平面PBC，故③正确；假设平面BCE⊥平面PAD，即平面BCFE⊥平面PAD，又平面BCFE∩平面PAD＝EF，作PM⊥EF，垂足为M，可得PM⊥平面BCE，但由题中条件无法证得PM⊥平面BCE，故假设不成立，故④错误．故选C.5．已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为()A.πB．πC.πD．π解析：选A将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为2.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方体的内切球，即球O的直径2R＝2，则球O的体积V＝πR3＝π.6．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋(球体)离蛋巢底面的最短距离为()A.B．C.D．解析：选D因为蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，又因为鸡蛋的体积为，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为，所以截面到球体最低点的距离为1－，而蛋巢的高度为，故球体到蛋巢底面的最短距离为－＝.7．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A依题意，由m∥α知存在直线m1⊂α，m∥m1，由l⊥α，m1⊂α得l⊥m1，又m∥m1，因此有l⊥m，“m∥α”是“m⊥l”的充分条件．反过来，由m⊥l不能得到m∥α，此时直线m可能位于平面α内，因此“m∥α”不是“m⊥l”的必要条件．综上所述，“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，选A.8.在正方体ABCDA1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，O为底面ABCD的中心，若BE＝x，A1F＝y，则四面体OAEF的体积()A．与x，y都有关B．与x，y都无关C．与x有关，与y无关D．与x无关，与y有关解析：选B如图，因为VOAEF＝VEOAF，所以，考查△AOF的面积和点E到平面AOF的距离的值，因为BB1∥平面ACC1A1，所以点E到平面AOF的距离为定值，又AO∥A1C1，所以OA为定值，点F到直线AO的距离也为定值，即△AOF的面积是定值，所以四面体OAEF的体积...
