数列求和Sn的方法(已印)VIP免费

11数列求和的基本方法与技巧一、利用常用求和公式求和：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn5、213)]1(21[nnkSnkn[例1]已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n21[例2]设Sn＝1+2+3+⋯+n，n∈N*，求1)32()(nnSnSnf的最大值.解：由等差数列求和公式得)1(21nnSn，)2)(1(21nnSn（利用常用公式）∴1)32()(nnSnSnf＝64342nnn＝nn64341＝50)8(12nn501∴当88n，即n＝8时，501)(maxnf22二、错位相减法求和：这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列。例设数列na满足21112,32nnnaaag，（1）求数列na的通项公式；（2）令nnbna，求数列的前n项和nS。解：（Ⅰ）由已知，当n≥1时，111211[()()()]nnnnnaaaaaaaaL21233(222)2nnL2(1)12n。而12,a所以数列{na}的通项公式为212nna。（Ⅱ）由212nnnbnan知35211222322nnSnL①从而23572121222322nnSnL②①-②得2352121(12)22222nnnSnL。即211[(31)22]9nnSn[例3]求和：132)12(7531nnxnxxxS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn33[例4]求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和。解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①14322226242221nnnS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）1122212nnn∴1224nnnS三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(1naa。[例5]求证：nnnnnnnCnCCC2)1()12(53210证明：设nnnnnnCnCCCS)12(53210⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..①把①式右边倒转过来得0113)12()12(nnnnnnnCCCnCnS（反序）又由mnnmnCC可得nnnnnnnCCCnCnS1103)12()12(⋯⋯⋯⋯..⋯⋯..②①+②得nnnnnnnnnCCCCnS2)1(2))(22(2110（反序相加）∴nnnS2)1([例6]求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S⋯⋯⋯⋯.①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S⋯⋯⋯⋯..②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝44.544四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。形如：①nnba,其中是等比数列；是等差数列；nnba②Nkknngknnfan,2,,12,Eg：已知数列na的通项公式为,132nann求数列na的前n项和.解：13252222121naaaSnnn=.135222221nn=213221212nnn=.22123221nnn[例7]求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，⋯解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和。解：设kkkkkkak2332)12)(1(∴nknkkkS1)12)(1(＝)32(231kkknk将其每一项拆开再重新组合得Sn＝kkknknknk1213132＝)21()21(3)21(2222333nnn（分组）＝2)1(2)12)(1(2)1(22nnnnnnn（分组求和）＝2)2()1(2nnn551nncaa五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。把数列的通项分成两项之差，在求和时中间的一些项可以...