数列的前n项和的求法1.公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1123(1)2nnnL，222112(1)(21)6nnnnL，33332(1)123[]2nnnL.例1、已知3log1log23x，求nxxxx32的前n项和.解：由212loglog3log1log3323xxx由等比数列求和公式得nnxxxxS32（利用常用公式）＝xxxn1)1(＝211)211(21n＝1－n212.分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.例2、求数列的前n项和：231,,71,41,1112naaan，⋯解：设)231()71()41()11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当a＝1时，2)13(nnnSn＝2)13(nn（分组求和）当1a时，2)13(1111nnaaSnn＝2)13(11nnaaan3.倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.例3、求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S⋯⋯⋯⋯.①将①式右边反序得1sin2sin3sin88sin89sin22222S⋯⋯⋯⋯..②（反序）又因为1cossin),90cos(sin22xxxx①+②得（反序相加）)89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89∴S＝4.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.例4、求和：132)12(7531nnxnxxxS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{1nx}的通项之积设nnxnxxxxxS)12(7531432⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.②（设制错位）①－②得nnnxnxxxxxSx)12(222221)1(1432（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nnnxnxxxSx)12(1121)1(1∴21)1()1()12()12(xxxnxnSnnn例5、求数列,22,,26,24,2232nn前n项的和.解：由题可知，{nn22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设nnnS2226242232⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯①14322226242221nnnS⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(nnnnS（错位相减）∴1224nnnS5.裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1nnnn；②1111()()nnkknnk；③2211111()1211kkkk，211111111(1)(1)1kkkkkkkkk；④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)nnnnnnn；⑤11(1)!!(1)!nnnn；⑥2122(1)2(1)11nnnnnnnnn.例6、求数列,11,,321,211nn的前n项和.解：设nnnnan111（裂项）则11321211nnSn（裂项求和）＝)1()23()12(nn＝11n例7、在数列{an}中，11211nnnnan，又12nnnaab，求数列{bn}的前n项的和.解： 211211nnnnnan∴)111(82122nnnnbn（裂项）∴数列{bn}的前n项和)]111()4131()3121()211[(8nnSn（裂项求和）＝)111(8n＝18nn6.通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。例8、求11111111111个n之和.解：由于)110(91999991111111kkk个个（找通项及特征）∴11111111111个n＝)110(91)110(91)110(91)110(91321n（分组求和）＝)1111(91)10101010(911321个nn＝9110)110(1091nn＝)91010(8111nn7、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.例9、求cos1°+cos2°+cos3°+···+cos178°+cos179°的值.2014年全国高考数学试题分类汇编（数列）1.【2014·全国卷Ⅱ（文5）】等差数列na的公差为2，若2a，4a，8a成等比数列，则na的前n项和nS=（A）1nn（B）1nn（C）12nn(D)12nn【答案】A2.【2014·全国大纲卷（理10）】等比数列{}na中，452,5aa，则数列{lg}na的前8项和等于（）A．6B．5C．4D．3【答案】C．3.【2014·全国大纲卷（文8）】设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2=3，S4=15，则S6=()A.31B.32C.63D.64【答案】C4.【2014·北京卷（理5）】设{}na是公比为q的等比数列，则"1"q是"{}"na为递增数列的（）.A充分且不必要条件.B必要且不充分条件.C充分必要...
