计算技巧及方法总结一、一般来说，对于二阶、三阶行列式，可以根据定义来做1、二阶行列式2112221122211211aaaaaaaa2、三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaa=.332112322311312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa例1计算三阶行列式601504321解601504321601)1(52043)1(030516244810.58但是对于四阶或者以上的行列式，不建议采用定义，最常采用的是行列式的性质以及降价法来做。但在此之前需要记忆一些常见行列式形式。以便计算。计算上三角形行列式nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000下三角形行列式nnnnaaaaaa21222111000.2211nnaaa对角行列式nnnnnnaaaaaaaaa221121222111000二、用行列式的性质计算1、记住性质，这是计算行列式的前提将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式,记为TD或'D,即若,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD则nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111.性质1行列式与它的转置行列式相等,即.TDD注由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质,它的列也同样具有.性质2交换行列式的两行(列),行列式变号.推论若行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式为零.性质3用数k乘行列式的某一行(列),等于用数k乘此行列式,即.2121112112121112111kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin第i行(列)乘以k,记为ki(或kCi).推论1行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.推论2行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零.性质4若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,例如,nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221111211.则21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin.性质5将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上,行列式不变.注:以数k乘第j行加到第i行上,记作jikrr;以数k乘第j列加到第i列上，记作jikcc.2、利用“三角化”计算行列式计算行列式时，常用行列式的性质，把它化为三角形行列式来计算.例如化为上三角形行列式的步骤是:如果第一列第一个元素为0,先将第一行与其它行交换使得第一列第一个元素不为0;然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行,使得第一列除第一个元素外其余元素全为0;再用同样的方法处理除去第一行和第一列后余下的低一阶行列式,如此继续下去,直至使它成为上三角形行列式,这时主对角线上元素的乘积就是所求行列式的值.例2若210101321D,则.213102011DDT例3（1）012121110012110121（第一、二行互换）.（2）102110211012110121（第二、三列互换）（3）0725011011（第一、二两行相等）（4）0337224112（第二、三列相等）例4（1）02222510211因为第三行是第一行的2倍.（2）07541410053820141因为第一列与第二列成比例,即第二列是第一列的4倍.例5若121013201D,则D2121013201)2(121013402又D412101320141240112204.例6设,1333231232221131211aaaaaaaaa求.53531026333231232221131211aaaaaaaaa解利用行列式性质，有33323123222113121153531026aaaaaaaaa3332312322211312115353522aaaaaaaaa5)3(2333231232221131211aaaaaaaaa15)3(2.30例7（1）.110111311103111132（2）1)2(1272305)2(11121272305211122720521112730511.例8因为,12310403212213而15)40()29(02213123.因此0221312303212213.注:一般来说下式是不成立的22211211222112112222212112121111bbbbaaaababababa.例9（1）13201013113214113112rr,上式表示第一行乘以-1后加第二行上去,其值不变.（2）33204103113214113113cc,上式表示第一列乘以1后加到第三列上去,其值不变.例10计算行列式2150321263D.解先将第一行的公因子3提出来：,21503242132150321263再计算.162354100430201541104702215421087042127189087042132150324213D例11计算.3351110243152113D解21ccD331511204351213114125rrrr7216011206480213132rr72160648011202131242384rrrr15100010800112021313445rr.40250001080011202131＝例12计算.3111131111311113D解注意到行列式的各列4个数之和都是6.故把第2，3，4行同时加到第1行，可提出公因子6，再由各行减去第一行化为上三角形行列式.D4321rrrr311113111131111163111131111316666141...
