1常微分方程学习活动3第一章初等积分法的综合练习本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。一、填空题1．微分方程0)(43yyyxyxy是二阶微分方程．2．初值问题00d(,)d()yfxyxyxy的解所满足的积分方程是00(,)dxxyyfsys．3．微分方程0d)ln(dlnyyxxyy是一阶线性非齐次微分方程．（就方程可积类型而言）4．微分方程0d)2e(deyyxxyy是全微分方程．（就方程可积类型而言）5．微分方程03)(22xyyy是恰当导数方程．（就方程可积类型而言）6．微分方程yxxysindd2的所有常数解是⋯±±==210k，，π，ky．7．微分方程21ddyxy的常数解是1±=y．8．微分方程xxyyx122e的通解为）（﹣Cxx1+=ey．9．微分方程2)(21yyxy的通解是221CCxy+=．.10．一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线．二、计算题1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程：（1）22ddxyxy答：一阶，非线性2（2）0dddd2dd223344xyxyxy答：四阶，线性（3）txxxx答：三阶，非线性2．用分离变量法求解下列方程：（1）yxye解通积分为Cxyee（2）0dcotdtanyxxy解当tancot0yx时，分离变量，两端取积分得ln||tancotdydxcyx即ln(sin)ln(cos)ln||yxc通积分为sincos.yxC另外，,2ykxk是常数解，0,1,2,.kL注:在方程求解时，求出显式通解或隐式通解（通积分）即可，常数解可以不求。（3）1)1(0)d()d(2222yyyxxxxyy解当0,0xy时,方程可变为yyyxxxd1d122，通积分为11ln||ln||xyCxy或11xyxCey,上式代入初值条件1,1xy.得2Ce.于是初值问题解为112xyxeey3．解下列齐次线性微分方程（1）0dd)2(22yxxxyy解显然0x是方程的解.当0x时,原方程可化为222ddxxyyxy.令xyu,则原方程可化为3uuxuxu2dd2,即xuuxu2dd易于看出,0u1u是上面方程的解,从而xy0y是原方程的解.当02uu时,分离变量得,xxuuudd2.两端积分得lnln1uCxu(C0)将u换成xy,便得到原方程的解()Cyxxy,(C0).故原方程的通解为()Cyxxy（C为任意常数）及0y.（2）yxxyyxtan解显然0y是方程的解.当0y时,原方程可化为xyxyxytandd.令xyu,则原方程可化为uuxuxutandd,即.tanddxuxu易于看出,0u是上式的解,从而0y是原方程的解.当0u时,分离变量得,xxuudtand.两端积分得1lnsinlnuCx(C01).将u换成xy,便得到原方程的解sinyCxx(C0).故原方程的通解为sinyCxx.4．解下列一阶线性微分方程：（1）422xyyx解先解齐次方程yxyx2dd.其通解为2yCx.用常数变易法,令非齐次方程通解为2()yCxx.代入原方程,化简后可得.2)(xxC.积分得到2()CxxC.代回后即得原方程通解为24yCxx.4（2）xxyysectan解先解齐次方程xyxytandd.其通解为cosyCx.用常数变易法,令非齐次方程通解为()cosyCxx.代入原方程,化简后可得'21()cosCxx.积分得到()tanCxxC.代回后即得原方程通解为sincosyxCx.5．解下列伯努利方程（1）024xyxyy解显然0y是方程解.当0y时,两端同除4y,得02dd134xyxxyy.令31yz,代入有,02d3dxxzxz它的解为23e21zxC于是原方程的解为233e211xCy，及.0y（2）)sin(cosdd2xxyyxy解显然0y是方程解.当0y时,两端同除2y,得0)sin(cos1dd12xxyxyy.令yz1,代入有0)sin(cosddxxzxz它的解为xCzxsine，于是原方程的解xCyxsine1，及.0y56．解下列全微分方程：（1）0d)e2(deyxyxyy解因为xNyMye,所以这方程是全微分方程,(,)Mxy及(,)Nxy在整个xOy平面都连续可微,不妨选取00,x00y.故方程的通积分为Cyyxyxy00d2de,即Cyxy2e.（2）0d2cosd)2sin1(2yxyxxy解因为2sin2MNyxyx,所以这方程是全微分方程,(,)Mxy及(,)Nxy在整个xOy平面都连续可微,不妨选取00,x00y.故方程的通积分为Cyyxyyx002dd)(1,即22cos2xyxC.7．求下列方程的积分因子和积分：（1）0dd)(22yxyxxyx解因为1MNyxNx,与y无关,故原方程存在只含x的积分因子.由公式（1.58）得积分因子xxxd1e)(，即(),xx于是方...
