一、数列通项公式的求法(1)已知数列的前n项和nS,求通项na;(2)数学归纳法:先猜后证;(3)叠加法(迭加法):112211()()()nnnnnaaaaaaaaL;叠乘法(迭乘法):1223322111aaaaaaaaaaaannnnnnn.【叠加法主要应用于数列{}na满足1()nnaafn,其中()fn是等差数列或等比数列的条件下,可把这个式子变成1()nnaafn,代入各项,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,经过整理,可求出na,从而求出ns】(4)构造法(待定系数法):形如1nnakab、1nnnakab(,kb为常数)的递推数列;【用构造法求数列的通项或前n项和:所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项的特征,构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式,从而求出数列的通项或前n项和.】(5)涉及递推公式的问题,常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】①1+1=,()nnaaaafn型,其中()fn是可以和数列,用累加法求通项公式,即1(1)(2(2)(1)nafnfnffa⋯⋯类型1:)(1nfaann思路(叠加法)1(1)nnaafn,依次类推有:12(2)nnaafn、23(3)nnaafn、⋯、21(1)aaf,将各式叠加并整理得111()nniaafn,即111()nniaafn例题1:已知11a,1nnaan,求na解: 1nnaan∴1nnaan,依次类推有:122321122nnnnaanaanaa、、⋯∴将各式叠加并整理得12nniaan,121(1)2nnniinnaann类型2:1()nnapafn思路(转化法)1(1)nnapafn,递推式两边同时除以np得11(1)nnnnnaafnppp,我们令nnnabp,那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题:已知12a,1142nnnaa,求na解: 1142nnnaa∴142nnnaa,则111442nnnnnaa, 令4nnnab,则112nnnbb,依此类推有11212nnnbb、22312nnnbb、⋯、22112bb∴各式叠加得1212nnnibb,即122111111122222nnnnnnnniiibb∴1441422nnnnnnnab②1+1=,()nnaaaafn型,其中()fn是可以求积数列,用累乘法求通项公式,即1(1)(2)(2)(1)nafnfnffa⋯⋯类型3:nnanfa)(1思路(叠乘法):1(1)nnafna,依次类推有:12(2)nnafna、23(3)nnafna、⋯、21(1)afa,将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)nafffa⋯(2)(1)fnfn,即(1)(2)(3)nafff⋯1(2)(1)fnfna例题:已知11a,111nnnaan,求na.解: 111nnnaan∴111nnanan,依次类推有:122nnanan、2331nnanan、⋯、3224aa、2113aa 11a∴将各式叠乘并整理得112311nannnannn⋯2143,即12311nnnnannn⋯21243(1)nn③1+1=,nnaaapaq型(其中pq、是常数),可以采用待定系数法、换元法求通项公式,即1()11nnqqapapp,设1nnqbap,则1nnbpb.利用②的方法求出nb进而求出na类型4:qpaann1(其中pq、是常数)当1p时,数列{}na是等差数列;当0,0pq时,数列{}na是等比数列;当0p且1,0pq时,可以将递推关系转化为111nnqqapapp,则数列1nqap是以11qap为首项,p为公比的等比数列.思路(构造法):设1nnapa,即1pq得1qp,数列na是以1a为首项、p为公比的等比数列,则1111nnqqaappp,即1111nnqqaappp例题:已知数列na满足123nnaa且11a,求数列na的通项公式解:设12nnaa,即3 11a∴数列3na是以134a为首项、2为公比的等比数列∴113422nnna,即123nna④1+1=,nnnaaapaq型,其中pq、是常数且0,1qq,111nnnnaapqqqq,设nnnabq,则11nnpbbqq即化为③.类型5:+1nnnaparq思路(构造法):11nnnaparq,设11nnnnaaqq,则11nnqpqrq,从而解得pqrpq那么nnarqpq是以1arqpq为首项,pq为公比的等比数列例题:已知11a,112nnnaa,求na。解: 设1122nnnnaa,则121122nn,解得1213,123nna是以111236为首项,12为公比的等比数列,即11112362nnna213nna⑤+1nnnaapaq型,其中pq、是常数且0na,可以采用等式两边取倒数.类型6:1(0)nnncaacpad思路(转化法):对递推式两边取倒数得11nnnpadaca,那么111nndpacac,令1nnba,这样,问题就可以进行求解了.例题:已知14a,1221nnnaaa,求na解: 对递推式左右两边取倒数得12112nnnaaa即111112nnaa,∴令1nnba则1112nnbb.设112nnbb,即2数列2nb是以17244为首项、12为公比的等比数列,则1722nnb,即21272nnnb,12227nnna类型7:1(00)nnnaabacadbccad、思路(特征根法):递推式对应的特征方程为axbxcxd即2()0cxdaxb.当特征方程有两个相等实根12xx时,数列1na即12nadac为等差数列,我们可设1...