(完整版)数列通项公式及其求和公式VIP免费

一、数列通项公式的求法（1）已知数列的前n项和nS,求通项na；（2）数学归纳法：先猜后证;（3）叠加法(迭加法)：112211()()()nnnnnaaaaaaaaL；叠乘法(迭乘法)：1223322111aaaaaaaaaaaannnnnnn.【叠加法主要应用于数列{}na满足1()nnaafn，其中()fn是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()nnaafn，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出na，从而求出ns】（4）构造法(待定系数法):形如1nnakab、1nnnakab（,kb为常数）的递推数列；【用构造法求数列的通项或前n项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n项和.】（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】①1+1=,()nnaaaafn型，其中()fn是可以和数列，用累加法求通项公式，即1(1)(2(2)(1)nafnfnffa⋯⋯类型1：)(1nfaann思路（叠加法）1(1)nnaafn，依次类推有：12(2)nnaafn、23(3)nnaafn、⋯、21(1)aaf，将各式叠加并整理得111()nniaafn，即111()nniaafn例题1：已知11a，1nnaan，求na解： 1nnaan∴1nnaan，依次类推有：122321122nnnnaanaanaa、、⋯∴将各式叠加并整理得12nniaan，121(1)2nnniinnaann类型2：1()nnapafn思路（转化法）1(1)nnapafn，递推式两边同时除以np得11(1)nnnnnaafnppp，我们令nnnabp，那么问题就可以转化为类型一进行求解了.例题：已知12a，1142nnnaa，求na解： 1142nnnaa∴142nnnaa，则111442nnnnnaa， 令4nnnab，则112nnnbb，依此类推有11212nnnbb、22312nnnbb、⋯、22112bb∴各式叠加得1212nnnibb，即122111111122222nnnnnnnniiibb∴1441422nnnnnnnab②1+1=,()nnaaaafn型，其中()fn是可以求积数列，用累乘法求通项公式，即1(1)(2)(2)(1)nafnfnffa⋯⋯类型3：nnanfa)(1思路（叠乘法）：1(1)nnafna，依次类推有：12(2)nnafna、23(3)nnafna、⋯、21(1)afa，将各式叠乘并整理得1(1)(2)(3)nafffa⋯(2)(1)fnfn，即(1)(2)(3)nafff⋯1(2)(1)fnfna例题：已知11a，111nnnaan，求na.解： 111nnnaan∴111nnanan，依次类推有：122nnanan、2331nnanan、⋯、3224aa、2113aa 11a∴将各式叠乘并整理得112311nannnannn⋯2143，即12311nnnnannn⋯21243(1)nn③1+1=,nnaaapaq型（其中pq、是常数），可以采用待定系数法、换元法求通项公式，即1()11nnqqapapp，设1nnqbap，则1nnbpb.利用②的方法求出nb进而求出na类型4：qpaann1（其中pq、是常数）当1p时，数列{}na是等差数列；当0,0pq时，数列{}na是等比数列；当0p且1,0pq时，可以将递推关系转化为111nnqqapapp,则数列1nqap是以11qap为首项，p为公比的等比数列.思路（构造法）：设1nnapa，即1pq得1qp，数列na是以1a为首项、p为公比的等比数列，则1111nnqqaappp，即1111nnqqaappp例题：已知数列na满足123nnaa且11a，求数列na的通项公式解：设12nnaa，即3 11a∴数列3na是以134a为首项、2为公比的等比数列∴113422nnna，即123nna④1+1=,nnnaaapaq型,其中pq、是常数且0,1qq，111nnnnaapqqqq,设nnnabq，则11nnpbbqq即化为③.类型5：+1nnnaparq思路（构造法）：11nnnaparq，设11nnnnaaqq，则11nnqpqrq，从而解得pqrpq那么nnarqpq是以1arqpq为首项，pq为公比的等比数列例题：已知11a，112nnnaa，求na。解： 设1122nnnnaa，则121122nn，解得1213，123nna是以111236为首项，12为公比的等比数列，即11112362nnna213nna⑤+1nnnaapaq型，其中pq、是常数且0na，可以采用等式两边取倒数.类型6：1(0)nnncaacpad思路（转化法）：对递推式两边取倒数得11nnnpadaca，那么111nndpacac，令1nnba，这样，问题就可以进行求解了.例题：已知14a，1221nnnaaa，求na解： 对递推式左右两边取倒数得12112nnnaaa即111112nnaa，∴令1nnba则1112nnbb.设112nnbb，即2数列2nb是以17244为首项、12为公比的等比数列，则1722nnb，即21272nnnb，12227nnna类型7：1(00)nnnaabacadbccad、思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为axbxcxd即2()0cxdaxb.当特征方程有两个相等实根12xx时，数列1na即12nadac为等差数列，我们可设1...