（1）设}0),({ttX是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为tsstBtXsXE),()}()({，且是一个周期为T的函数，即0),()(BTB，求方差函数)]()([TtXtXD。解：由定义，有：0)(2)0()0()}()({2)0()0()]}()()][()({[2)]([)]([)]()([TBBBTtXtXEBBTtEXTtXtEXtXETtXDtXDTtXtXD（2）试证明：如果}0),({ttX是一独立增量过程，且0)0(X，那么它必是一个马尔可夫过程。证明：我们要证明：nttt210，有})()({})(,,)(,)()({11112211nnnnnnnxtXxtXPxtXxtXxtXxtXP形式上我们有：})()(,,)(,)({})()(,,)(,)(,)({})(,,)(,)({})(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxtXxtXxtXxtXPxtXxtXxtXxtXxtXPxtXxtXxtXPxtXxtXxtXxtXPxtXxtXxtXxtXP因此，我们只要能证明在已知11)(nnxtX条件下，)(ntX与2,,2,1,)(njtXj相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1njtttannj时，增量)0()(XtXj与)()(1nntXtX相互独立，由于在条件11)(nnxtX和0)0(X下，即有)(jtX与1)(nnxtX相互独立。由此可知，在11)(nnxtX条件下，)(ntX与2,,2,1,)(njtXj相互独立，结果成立。（3）设随机过程}0,{tWt为零初值（00W）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0t，),(~2tNWt，问过程}0,{tWt是否为正态过程，为什么？解：任取nttt210，则有：nkWWWkitttiik,,2,1][11由平稳增量和独立增量性，可知))(,0(~121iittttNWWii并且独立因此),,,(1121nntttttWWWWW是联合正态分布的，由1121211110011001nnnttttttttWWWWWWWW可知是正态过程。（4）设}{tB为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。解：标准布朗运动的相关函数为：},min{),(2tstsRB如果标准布朗运动是均方可微的，则),(/ttRB存在，但是：20/0/),(),(lim),(0),(),(lim),(tttRtttRttRtttRtttRttRBBtBBBtB故),(/ttRB不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。（5）设tN，0t是零初值、强度0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，0,0tdsNYtst是否存在，为什么？解：泊松过程的转移率矩阵为：000000Q其相关函数为：sttstsRN2},min{),(，由于在t，),(ttRN连续，故均方积分存在。（6）在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：5.05.025.075.011100100ppppP试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为)3/1,3/2(。（7）设齐次马氏链,4,3,2,1,0,SnXn一步转移概率矩阵如下：002/12/1002/12/12/12/1002/12/100P（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；（b）求n步转移概率矩阵；（c）试问此马氏链是平稳序列吗？为什么？解：（a）略（b）偶数奇数nPnPPnPn2)(（c）此链不具遍历性（8）设0,)1()()(tXtYtN，其中}0);({ttN为强度为0的Poission过程，随机变量X与此Poission过程独立，且有如下分布：0,2/1}0{,4/1}{}{aXPaXPaXP问：随机过程0),(ttY是否为平稳过程？请说明理由。由于：0)}({tYE1222)(220)(12201212)()(2)()(2)()()(22)()(2)()(22122!)]([)1(2})()({)()()1(2)1(2)1(2)1()1(),(121212121212121tteaeaenttantNtNPntNtNEaEaEaEXEXEttRttnttnnntNtNtNtNtNtNtNtNtNtNtNY故)}({tY是平稳过程。（9）设0,2tYtXXt，其中X与Y独立，都服从),0(2N（a）此过程是否是正态过程？说明理由。（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。证明：（a）任取ntttNn210,，则有：YXtttYtXYtXYtXXXXnntttn212121222212121由于X与Y独立，且都服从),0(2N，因此可得YX服从正态分布，由上式可知随机向量ntttXXX21服从正态（高斯）分布，所以过程0,2tYtXXt是正态（高斯）过程。（b）由：0}{2}{}{YtEXEXEt221222121222121221214}{4}{}{)(2}{}{4}{)(2}{]}2][2{[}{),(21ttYEttYEXEttXEYEttXYEttXEYtXYtXEXXEttRttX由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。（10）设tN，0t是零初值、强度1的泊松过程。（a）求它的概率转移函数}{),,,(iNjNPjitspst；（b）令0,ttNXtt，说明10dtXYt存在，并求它的二阶矩。解：（a）)()!()]([}{),,,(stijsteijstiNj...
