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第四章需求理论本章研究消费者个人需求和市场总需求的变化规律。对于消费者个人需求，主要讨论价格和收入的变化对需求的影响，尤其是要讨论收入效应和替代效应问题。对于市场总需求，主要讨论三个方面的问题：总需求是否还是价格和收入的函数？总需求能否揭示一种消费者偏好？总需求有什么社会福利意义？通过对这些问题的研究，总需求的性质和变化规律便可可得到揭示。本章的讨论仍在商品空间Rℓ中进行，即假定市场上共有ℓ种可供选择的商品。第一节集值映射集值映射是研究需求的基本工具，是经济学研究中发展起来的一套经济分析方法。上一章中讨论的预算集合β(p,r)同价格p与收入r之间的对应关系，以及需求集合D(p,r)同价格p与收入r之间的对应关系，都是集值映射的典型事例。所谓集值映射，是指集合与元素(点)之间的某种对应关系，或者说是一种取值为集合的映射。具体来说，设E和F是两个集合，如果对于E种的任何一个元素x，都有F的一个子集Γ(x)与之对应，则这种对应关系就称为从E到F的集值映射，并记作Γ:E⇒F。为了方便起见，今后我们把集值映射也简称作集映。对于这个概念，我们可作两个方面的理解。首先，通常所说的映射或函数都是单值映射或单值函数，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是唯一的；集值映射则实际上是多值映射，即对于自变量的每一种取值，与之对应的因变量的值是可能有多个。其次，也可把集值映射这种多值映射看成是一种单值映射，即把Γ(x)看成是F的幂集2F的元素，这样一来，Γ:E⇒F就变成了从E到2F的单值映射。因此，集值映射Γ:E⇒F也可记作Γ:E→2F。集值映射Γ:E⇒F还可看作是乘积集合E×F={(x,y):(x∈E)∧(y∈F)}的子集。具体来讲，Γ:E⇒F确定了E×F的一个子集Grap(Γ)={(x,y)∈E×F:y∈Γ(x)}，这个子集称为集值映射Γ:E⇒F的图像(如图4-1所示)。显然，不同集映的图像是不同的。集映确定以后，其图像也就唯一确定下来。反过来，只要图像得以确定，集映也就唯一确定了。因此，可把集映与其图像等同看待。对于集值映射Γ:E⇒F，如果对任何x∈E，都有Γ(x)≠Φ，则称Γ:E⇒F为对应。所以，对应是取值为非空集合的集映，也是人们更为感兴趣的集值映射。在集值映射Γ:E⇒F下，E的子集M的像集是指集合Γ[M]：Γ[M]={y∈F:(∃x∈M)(y∈Γ(x)}=¿x∈MΓ(x)定义．设E与F都是拓扑空间，集映Γ:E⇒F叫做：(1)闭(紧、凸)集值的集映，如果对任何x∈E,Γ(x)都是F的闭(紧、凸)子集；(2)在点x∈E处上半连续，如果对于F中任何包含Γ(x)的开集V，都存在x的邻域U使得Γ[U]⊆V；FΓ:E⇒FΓ(x)E图4-1集值映射的图像(3)上半连续的集映，如果对任何x∈E,Γ都在x处上半连续；(4)在点x∈E处下半连续，如果对F中任何与Γ(x)相交的开集V，都存在x的邻域U使得(∀z∈U)(Γ(z)∩V≠Φ)；(5)下半连续的集映，如果对任何x∈E,Γ都在x处下半连续；(6)在点x∈E处连续，如果Γ在点x∈E处既上半连续，又下半连续；(7)连续的集映，如果对任何x∈E,Γ都在x处连续；(8)闭集映，如果Γ的图像Grap(Γ)是积空间E×F的闭子集；(9)开集映，如果Γ的图像Grap(Γ)是积空间E×F的开子集。集映的上半连续性和下半连续性都是函数连续性概念的推广，上半连续性说的是Γ(x)不会突然彭胀，下半连续性说的是不会突然收缩。关于的集映连续性，下面三个定理是基本的和重要的。定理1.设和F都是拓扑空间，且F为Hausdorff空间。又设Γ:E⇒F是闭集值的集映，且Γ[E]包含在F的某紧子集当中。则Γ上半连续的充分必要条件是Γ为闭集映。定理2.设E是第一可数空间，F是Hausdorff空间，Γ:E⇒F是集映，x∈E为某个给定的点，Γ在该点处的值Γ(x)是闭集，且存在x的邻域U使得Γ[U]包含在F的某紧子集当中。则Γ在x处上半连续的充分必要条件是：对任何y∈F及任何序列xn∈E(n=1,2,⋯)和yn∈F(n=1,2,⋯)，当xn→x且yn→y时，y∈Γ(x)。定理3.设E和F是第一可数空间，Γ:E⇒F是对应，x∈E为给定的点。则Γ在x处下半连续的充分必要条件是：对于任何y∈Γ(x)及E中任何收敛于x的序列xn(n=1,2,⋯)，存在F中收敛于y的序列yn(n=1,2,⋯)满足yn∈Γ(xn)(n=1,2,⋯)。推论.设E和F都是拓扑空间，且F为Hausdorff空间，Γ:E⇒F为...