湖南省宁乡县三仙坳初级中学九年级数学下册《三角函数的综合运用》学案（北师大版）知识考点：本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。精典例题：【例1】如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为450和600，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。（参考数据：＝1.41421…，＝1.73205…）分析：此题可先通过解Rt△ABD求出塔高AB，再利用CE＝BD＝80米，解Rt△AEC求出AE，最后求出CD＝BE＝AB－AE。解：在Rt△ABD中，BD＝80米，∠BAD＝600∴AB＝（米）在Rt△AEC中，EC＝BD＝80米，∠ACE＝450∴AE＝CE＝80米∴CD＝BE＝AB－AE＝（米）答：塔AB的高约为138.56米，楼CD的高约为58.56米。【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度PO＝450米，且A、B、O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为，，求大桥AB的长（精确到1米，选用数据：＝1.41，＝1.73）分析：要求AB，只须求出OA即可。可通过解Rt△POA达到目的。解：在Rt△PAO中，∠PAO＝∴OA＝（米）在Rt△PBO中，∠PBO＝∴OB＝OP＝450（米）∴AB＝OA－OB＝（米）答：这座大桥的长度约为329米。评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B处，此时看见小岛C在船的北偏东300方向，已知以小岛C为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛C与航向（直线AB）的距离，再与10海里进行比较得出结论。解：过C作AB的垂线CD交AB的延长线于点D ，∴，∴∴ ＞10∴这艘渔船继续向东追赶鱼群不会进入危险区域。评注：此题是解直角三角形的应用问题中的一个重要题型——航海问题，解这类题要弄清方位角、方向角的概念，正确地画出示意图，然后根据条件解题。【例4】某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝3米，斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC的坡度＝1∶3，求斜坡AB的坡角和坝底宽AB。分析：此题可通过作梯形的高，构造直角三角形使问题得以解决。解：作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E、F，在Rt△ADE和Rt△BCF中 ∴∠A＝300又 ，∴BF＝3CF＝3×8＝24∴AB＝AE＋EF＋BF＝＝（米）答：斜坡AB的坡角∠A＝300，坝底宽AB为米。评注：此类问题首先要弄清楚坡角与坡度的关系（坡度是坡角的正切值），其次是作适当的辅助线构造直角三角形。探索与创新：【问题一】如图，自卸车厢的一个侧面是矩形ABCD，AB＝3米，BC＝0.5米，车厢底部离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度，问此时车厢的最高点A离地面多少米？（精确到1米）分析：此题只需求出点A到CE的距离，于是过A、D分别作AG⊥CE，DF⊥CE，构造直角三角形，解Rt△AHD和Rt△CDF即可求解。解：过点A、D分别作CE的垂线AG、DF，垂足分别为G、F，过D作DH⊥AG于H，则有：于是A点离地面的高度为（米）答：车厢的最高点A离地面约为4米。【问题二】如图1所示是某立式家具（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，房间高2.6米，所以不从高度方面考虑方案的设计），按此方案可以使该家具通过如图2中的长廊搬入房间，在图2中把你的设计方案画成草图，并说明按此方案可把家具搬入房间的理由（注：搬动过程中不准拆卸家具，不准损坏墙壁）。略解：设计方案草图如图所示。说明：如说理图所示，作直线AB，延长DC交AB于E，由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，所以CE＝0.5，DE＝DC＋CE＝2，作DH⊥AB于H，则 ∴可按此方案设计图将家具从长廊搬入房间。跟踪训练：一、选择题：1、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长是13米，那么斜坡AB的坡度是（）A、1∶3B、1∶2.6C、1∶2.4D、1∶22、如图，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东600方向...
