有理数与数轴【本讲教育信息】一.教学内容：有理数与数轴理解有理数的概念是学习数学的基础，要从小学中“0是最小的数”中跳出来，这就要求我们要更新对于数的认识，尤其要结合生活，理解负数的概念。数轴的引入让我们把数与形结合了起来利用数轴去理解相反数、绝对值，更为下面学习有理数的运算作好了铺垫。目标：1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小。2.借助数轴理解绝对值和相反数的意义，会求有理数的绝对值与相反数。二.重点、难点：1.经历把生活中意义相反的量用正、负数表示，体验数感。2.通过对有理数的分类，初步形成分类的思想。3.借助数轴，体会“数形结合”。三.过程（一）通过生活思考数学1.篱笆如图，一边靠校园院墙，另外三边用12m长的篱笆，打算围成一个长方形兔圈。请你探究：怎样围可使小兔的活动范围较大？设矩形一边为a，另一边为b，且2a+b=12，则a（）b（）S=ab（）110102816361844165210由表格观察得：当a=3m，b=6m时，S有最大值。2.火柴棒按下列方式，用火柴棒搭成三角形根据上图填下表三角形个数1234……100……火柴棒根数3579……？……你觉得当三角形个数很多时，还能用逐个数的方法来填表吗？当三角形的个数是n时，火柴棒的根数为2n+1当三角形的个数是1000时，火柴棒的根数为多少？3.月历观察月历，回答下列问题。请你探究：①有阴影方框中的9个数与方框中间的数有什么关系吗？这个关系对任意一个这样的方框都成立吗？答：阴影方框中的9个数之和是方框中间的数的9倍。对任意一个这样的方框都成立。②这9个数的和可能为189吗？可能为108吗？为什么？答：这9个数的和可能为189，中间一个数为；这9个数的和不可能为108，因为，而12在最右边，不是中间的数。日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031你想到了吗？（二）有理数1.正、负数的概念（1）正数：大于0的数叫做正数。小学算术中学过的数（除了0）都是正数。如：3，0.78，，200％（也可写作+3，+0.78，）等是正数。它们都比0大。（2）负数：在正数前面加上“－”（读作“负”）号的数，叫做负数。如：－33，－3.141592，等是负数。它们都比0小。2.有理数的分类正整数、零和负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。整数和分数统称有理数。（数学上，有理数是两个整数的比，通常写作，这里b不为零。分数是有理数的通常表达方法，而整数是分母为1的分数，当然亦是有理数。）（1）按整数分数关系分类（2）按正数、负数与0的关系分类3.生活中的有理数具有相反意义的两个量规定其中一个用正数表示，另一个量就用负数来表示，到底用正数，还是用负数来表示其中的一个量，只是我们的一种规定，但也常遵守人们的习惯。比如人们习惯用正数表示零上温度，用正数表示收入等。1）如果汽车向西行驶150m，记做+150m，那么向东行驶55m，就记做－55m。2）零度以上的气温用正数表示，零度以下的气温用负数表示。3）水面比警戒线高4m，记做+4m，比警戒线低4m，记做－4m。河流沿岸人们关注水位的升降，当水位为一个很大的正数，就要防洪；水位为一个很小的负数，就要抗旱。（三）数轴1.数轴的定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。数轴三要素：原点，正方向和单位长度，三者缺一不可。2.数轴的画法：画数轴一般先取向右为正方向，原点和单位长度则由我们具体情况灵活选定它们的位置和大小。注意：①原点在直线的位置可以是任意的，但必须确定并明确标记。②在所画直线的最右端画一个向外的箭头表示正方向，负方向通常不需要表示。③单位长度与单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，如：cm、m、km等。④数轴的位置通常是水平的，但也可以是任意位置的。3.数轴的意义：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；但数轴上的点并不都表示有理数，有的点还表示无理数（八年级将会进一步学习），这个数轴也叫做“实数轴”。（a）准确地在数轴上画出给出的有理数的点，表示指定数的点要用笔涂成小圆黑点。如：给出，，0，0.5，3等，能画一条数轴，并在数轴上面标出表示它们的点，如图：（b）对于一条数轴上标...
