初三数学第二十四章圆（下）第4节正多边形和圆北京实验版【本讲教育信息】一.教学内容：第二十四章圆（下）第4节正多边形和圆二.教学目标：1.掌握正多边形的定义、性质及相关的概念。2.会进行正多边形的有关计算。三.教学重点、难点：1.重点：正多边形性质、相关概念及有关计算。2.难点：正多边形有关计算。四.教学过程：（一）知识点：1.正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。2.正多边形与圆的关系：把圆分成等份，依次联结各分点，所得的多边形是这个圆的内接正n边形。3.正多边形的性质：（1）任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。（2）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。（3）边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心就是对称中心。4.与正多边形有关的概念正多边形的中心：正多边形外接圆（或内切圆）的圆心。正多边形的半径：正多边形外接圆的半径。正多边形的边心距：正多边形内切圆的半径。正多边形的中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角。【典型例题】例1.（1）如果一个正多边形的中心角为24°，那么它的边数是_____________。（2）正多边形的一个外角等于45°，那么这正多边形的内角和等于__________°，中心角等于_____________°。解：（1）15（2）1080，45例2.已知：如图所示，正六边形ABCDEF的半径为R，求这个正六边形的边长a6，周长P6和面积S6。分析：正六边形的半径和边心距将正六边形分成12个全等的直角三角形，抓住其中一个直角三角形便可求出相关量。解：如图所示，作半径OA、OB，作得。例3.已知：圆内接正方形的面积是8，求同圆的内接正六边形的面积。解：如图所示，设正方形边长为AB，正六边形边长为AC，过O作连结OB、OA、OC∵正方形面积是8例4.已知：如图所示，△OAB为正三角形，以O为圆心，OA为半径作圆O，直径FC//AB，AO、BO的延长线交圆O于D、E，求证：六边形ABCDEF是正六边形。分析：已知A、B、C、D、E、F在圆上，只要证明它们是圆O的六等分点即可。证明：∵△OAB是正三角形∴六边形ABCDEF是正六边形例5.已知：如图所示，圆O为正三角形ABC的内切圆，EFGH是圆O的内接正方形，且，求正三角形的周长。解：连结OB、OE、OF在等腰直角三角形OEF中∴正三角形的周长为（三）本章小结【模拟试题】（答题时间：30分钟）一.填空题（1）正三角形的半径为R，则边长为_____________，边心距为_____________，面积为_____________，若正三角形边长为a，则这个三角形的半径为_____________，内切圆半径为_____________，这个三角形的高为_____________。（2）正n边形的一个外角为30°，则它的边数为_____________，它的内角和为_____________，当它的边心距为r时，它的边长为_____________，面积为_____________。（3）如果一个正n边形的一个外角等于它的一个内角的三分之二，则这个正n边形的边数为_____________。（4）正六边形的边长为1，则它的半径为_____________，面积为_____________。（5）同圆的内接三角形、正四边形、正六边形的边长之比为_____________。（6）如果圆的面积是那么这个圆的外切正方形的面积是_____________。二.解答题（1）已知：正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环面积。（2）已知：如图所示，正六边形ABCDEF内接于圆O，图中阴影部分面积为，求圆O的半径。（3）已知圆O的半径为R，求它的内接正三角形的内切圆的内接正方形的周长。【试题答案】一.填空题（1）（2）12，1800°，（3）5（4）1，（5）（6）12二.解答题（1）（2）4（3）
