1代数类分类讨论题例析松江区立达中学庄士忠201600在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．而代数类分类讨论一般以概念区分和判别为核心，从文字上一般就可以分辨得出，而且代数方法的分类一般通过计算，不会漏解。1.与数与式有关的分类讨论例1.化简：|x-1|+|x-2|解析：①当x＜1时，x-1＜0，x-2＜0，∴原式=-(x-1)-(x-2)=-2x+3。②当1≤x≤2时，x-1≥0，x-2≤0，∴原式=(x+1)-(x-2)=1③当x＞2时，x-1＞0，x-2＞0，∴原式=(x-1)+(x-2)=2x-3例2.代数式aabbabab||||||的所有可能的值有（）A.2个B.3个C.4个D.无数个解析：根据绝对值的意义，需对a、b的符号进行讨论。（1）当ab00，时，ab0，原式等于3；（2）当abab000，时，，原式等于1；（3）当ab00，时，ab0，原式等于1；（4）当ab00，时，ab0，原式等于1。因此，代数式所有可能的值为3、-1，故选A。点拨：绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要弄清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。所以只有对初中数学概念的本身有一个全面深刻的理解，才能在解决有关问题时有分类讨论的意识，从而提高分析问题和解决问题的能力。2.与方程有关的分类讨论2例3.已知方程01)12(22xmxm有实数根，求m的取值范围。解析：（1）当02m时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1（2）当02m时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：41-m,0144)12(22即mmm，且02m综（1）（2）得，41m点拨：（很多同学会从（2）直接开始而且会忽略02m的条件）例4、a349332无解，求xxaxx解：去分母，得：1.6,801a31-a21-31-a21-211-a)3(4)3(3aaaxxaxx或者或或由已知）（猜想：把“无解”改为“有增根”如何解？68aa或3.函数部分分类讨论方程、函数的分类讨论主要是通过变量之间的关系建立函数关系式，然后根据实际情况进行分类讨论或在有实际意义的情况下的讨论，在讨论问题的时候要注意特殊点的情况.例5、已知一次函数3333xy与x轴、y轴的交点分别为A、B，试在x轴上找一点P，使△PAB为等腰三角形。分析：本题中△PAB由于P点位置不确定而没有确定，而且等腰三角形中哪两条是腰也没有确定。△PAB是等腰三角形有几种可能？我们可以按腰的可能情况加以分类：（1）PA=PB；（2）PA=AB；（3）PB=AB。先可以求出B点坐标()033，，A点坐标（9，0）。设P点坐标为，利用两点间距离公式可对三种分类情况分别列出方程，求出P点yxBAO3坐标有四解，分别为)0369()0369()03()09(，、，、，、，。（不适合条件的解已舍去）总结：解答本题极易漏解。解答此类问题要分析清楚符合条件的图形的各种可能位置，紧扣条件，分类画出各种符合条件的图形。另外，由点的运动变化也会引起分类讨论。由于运动引起的符合条件的点有不同位置，从而需对不同位置分别求其结果，否则漏解。例6、如图，直线y=3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，过A,B两点的抛物线交x轴于另一点C（3,0）.(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使三角形ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由。说明从以上各例可以看出，分灯思想在几何中的较为广泛．这类试题的解题思路是：对具有位置关系的几何图形，要有分类讨论的意识，在熟悉几何问题所需要的基础知识的前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保证．解析：（1）抛物线解析式的求法：1，三点式；2，顶点式（h,k）；3，交点式。易得：32)3,0()3)(1(2xxyBxxay在抛物线上再结合点依题意得10AB，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)以AQ为底，则有AB=QB,及22)3(110y解得，y=0或y=6,又因为点（1,6）在直线AB上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0)...
