训练目标正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用.训练题型(1)解三角形；(2)解三角形的实际应用.解题策略(1)解三角形的关键是关系式的选择，应根据已知边角或关系式特点灵活使用定理；(2)根据实际问题可画出示意图，整合边角关系在适当三角形中求解.1．(2015·河南、河北、山西考前质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝asinC－ccosA.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积S＝，求b，c.2．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)若2bcosA＝(ccosA＋acosC)，BC边上的中线AM的长为，求△ABC的面积．3．(2015·贵州第二次联考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝(a＋b，sinA－sinC)，向量n＝(c，sinA－sinB)，且m∥n.(1)求角B的大小；(2)设BC的中点为D，且AD＝，求a＋2c的最大值及此时△ABC的面积．4.如图所示，A、C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．(1)求A、C两岛之间的距离；(2)求∠BAC的正弦值．5．(2015·辽宁沈阳四校联考)已知f(x)＝sin(π＋ωx)·sin(π－ωx)－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T＝π.(1)求f()的值；(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若有(2a－c)cosB＝bcosC，求角B的大小以及f(A)的取值范围．答案解析1．解(1)由条件c＝asinC－ccosA，得sinC＝sinAsinC－sinCcosA.∵C∈(0，π)，∴sinC≠0，∴＝sinA－cosA，即sinAcos－cosAsin＝，sin(A－)＝.∵0
0)，则BC＝m，所以CM＝m.在△AMC中，由余弦定理可知AM2＝CM2＋AC2－2CM·AC·cos，即()2＝m2＋m2－2·m·m·(－)，整理得m2＝4，解得m＝2.所以S△ABC＝CA·CBsin＝×2×2×＝.3．解(1)因为m∥n，所以(a＋b)(sinA－sinB)－c(sinA－sinC)＝0.由正弦定理可得(a＋b)(a－b)－c(a－c)＝0，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理可知cosB＝＝＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)设∠BAD＝θ，则在△BAD中，由B＝，可知θ∈(0，)．由正弦定理及AD＝，有＝＝＝2，所以BD＝2sinθ，AB＝2sin(－θ)＝cosθ＋sinθ.所以a＝2BD＝4sinθ，c＝AB＝cosθ＋sinθ.从而a＋2c＝2cosθ＋6sinθ＝4sin(θ＋)．由θ∈(0，)，可知θ＋∈(，)，所以当θ＋＝，即θ＝时，a＋2c取得最大值4.此时a＝2，c＝，所以S△ABC＝acsinB＝.4．解(1)在△ABC中，由已知，得AB＝10×5＝50(海里)，BC＝10×3＝30(海里)，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，由余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，所以AC＝70(海里)．故A、C两岛之间的距离是70海里．(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，所以sin∠BAC＝＝＝.故∠BAC的正弦值是.5．解(1)∵f(x)＝sin(π＋ωx)sin(－ωx)－cos2ωx＝sinωxcosωx－cos2ωx＝sin2ωx－cos2ωx－＝sin(2ωx－)－，由函数f(x)的最小正周期为T＝π，即＝π，得ω＝1，∴f(x)＝sin(2x－)－，∴f()＝sin(2×－)－＝sin－＝－1.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，∴由正弦定理可得(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝sinA.∵sinA>0，∴cosB＝.∵B∈(0，π)，∴B＝.∵A＋C＝π－B＝π，∴A∈(0，π)，∴2A－∈(－，)，∴sin(2A－)∈(－，1]，∴f(A)＝sin(2A－)－∈(－1，]．
