（江苏专用）高考数学二轮复习 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 第5讲 推理与证明练习 文 苏教版-苏教版高三数学试题VIP免费

第5讲推理与证明1．(2019·苏州期末)从1＝1，1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)，…，归纳出第n个式子为________．[答案]1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋3＋…＋n)2．观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…据此规律，第n个等式可为____________________．[解析]等式的左边的通项为－，前n项和为1－＋－＋…＋－；右边的每个式子的第一项为，共有n项，故为＋＋…＋．[答案]1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋3．(2019·徐州模拟)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝，则该数列的前22项和等于________．[解析]因为a1＝，an＋1＝，所以a2＝－1，a3＝2，a4＝，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，所以S22＝7(a1＋a2＋a3)＋a1＝7×＋＝11．[答案]114．(2019·宿迁调研)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝________．[解析]从给出的式子特点观察可推知，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123．[答案]1235．如图，在圆内画1条弦，把圆分成2部分；画2条相交的弦，把圆分成4部分；画3条两两相交的弦，最多把圆分成7部分；…；画n条两两相交的弦，最多把圆分成________个部分．[解析]易知当n条弦的交点不在圆周上，且没有公共交点时，把圆分的部分最多．当画1条弦时，分成1＋1个部分；当画2条弦时，分成1＋1＋2个部分；当画3条弦时，分成1＋1＋2＋3个部分；…所以画n条弦时，分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝(n2＋n)＋1(个)部分．[答案](n2＋n)＋16．(2019·南京模拟)命题p：已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的一个动点，过F2作∠F1PF2的外角平分线的垂线，垂足为M，则OM的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q：已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，F1、F2是双曲线的两个焦点，P为双曲线上的一个动点，过F2作∠F1PF2的________的垂线，垂足为M，则OM的长为定值________．[解析]对于椭圆，延长F2M与F1P的延长线交于Q．由对称性知，M为F2Q的中点，且PF2＝PQ，从而OM∥F1Q且OM＝F1Q．而F1Q＝F1P＋PQ＝F1P＋PF2＝2a，所以OM＝a．对于双曲线，过F2作∠F1PF2内角平分线的垂线，垂足为M，类比可得OM＝a．因为OM＝F1Q＝(PF1－PF2)＝·2a＝a．[答案]内角平分线a7．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝．类比这个结论可知：四面体ABCD的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为R，四面体ABCD的体积为V，则R＝________．[解析]设四面体ABCD的内切球的球心为O，连结OA，OB，OC，OD，将其分割成四个四面体，由分割法可得V＝S1R＋S2R＋S3R＋S4R，所以R＝．[答案]8．(2019·江苏省高考命题研究专家原创卷(八))已知下列等式：22＝422－42＋62＝2422－42＋62－82＋102＝6022－42＋62－82＋102－122＋142＝112……观察上述等式的规律，发现第n(n∈N*)个等式的右边可以表示为an2＋bn＋c(a，b，c为实常数)的形式，则＋c＝______．[解析]法一：每个等式的左边有(2n－1)个偶数的平方相加减，第一个偶数为2，最后一个偶数为2(2n－1)，正负相间，所以第n个等式的左边为22－42＋62－82＋…－[2(2n－2)]2＋[2(2n－1)]2，即4＋2[4＋6＋8＋…＋2(2n－2)＋2(2n－1)]＝4(1＋2＋3＋4＋5＋…＋2n－2＋2n－1)＝8n2－4n，所以a＝8，b＝－4，c＝0，所以＋c＝－2．法二：令n＝1，2，3，得解得，所以＋c＝－2．[答案]－29．(2019·无锡质量检测)有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”则张老师的生日是________．[解析]根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知...