第17讲导数的综合应用1.(2018苏州学业阳光指标调研)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=-8x的焦点坐标为.2.设a∈R,则命题p:a≤1,命题q:a2≤1,则非p是非q的条件.(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分又不必要”)3.已知函数f(x)={2-x,x≤0,log81x,x>0,若f(x)=14,则实数x的值为.4.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,⃗BE=λ⃗BC,⃗CF=λ⃗CD.若⃗AE·⃗BF=-1,则λ=.5.已知过点(2,5)的直线l被圆C:x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为4,则直线l的方程为.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若tanA=7tanB,a2-b2c=3,则c=.7.已知m是实数,函数f(x)=x2(x-m),若f'(-1)=-1,则函数f(x)的单调增区间是.8.(2018江苏盐城中学高三上学期期末)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,AD∥BC,AD=2BC=2,△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形,E是PD上的点.求证:(1)AD∥平面PBC;(2)平面EAC⊥平面PCD.9.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),0<β<α<π.(1)若|a-b|=√2,求证:a⊥b;(2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值.答案精解精析1.答案(-2,0)解析抛物线y2=-8x的焦点坐标是(-2,0).2.答案充分不必要解析q:-1≤a≤1,则q是p的充分不必要条件,则非p是非q的充分不必要条件.3.答案3解析当x≤0时,f(x)=2-x=14,解得x=2,舍去;当x>0时,f(x)=log81x=14,解得x=3,符合题意,故实数x的值为3.4.答案√22解析由题意可得λ>0,⃗AB·⃗AD=2×2×(-12)=-2,⃗AE=⃗AB+⃗BE=⃗AB+λ⃗BC=⃗AB+λ⃗AD,⃗BF=⃗BC+⃗CF=⃗AD+λ⃗CD=⃗AD-λ⃗AB,所以⃗AE·⃗BF=(⃗AB+λ⃗AD)·(⃗AD-λ⃗AB)=(1-λ2)⃗AB·⃗AD=-2(1-λ2)=-1,解得λ=√22.5.答案x-2=0或4x-3y+7=0解析圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.直线l被圆C截得的弦长为4,则圆心C(1,2)到直线l的距离为1.当过点(2,5)的直线l的斜率不存在时,l:x=2,符合题意;当斜率存在时,设为k,则l:y-5=k(x-2),即为kx-y+5-2k=0,此时|k-2+5-2k|√k2+1=1,解得k=43,直线l:43x-y+73=0,即4x-3y+7=0.综上可得,直线l的方程为x-2=0或4x-3y+7=0.6.答案4解析由tanA=7tanB得sinAcosB=7sinBcosA,∴a·a2+c2-b22ac=7b·b2+c2-a22bc,化简得4(a2-b2)=3c2.又a2-b2=3c,所以4×3c=3c2,解得c=4.7.答案(-∞,-43),(0,+∞)解析∵f'(x)=3x2-2mx,∴f'(-1)=3+2m=-1,解得m=-2,∴由f'(x)=3x2+4x>0解得x<-43或x>0,即单调增区间为(-∞,-43),(0,+∞).8.证明(1)∵AD∥BC,BC⊂平面PBC,AD⊄平面PBC,∴AD∥平面PBC.(2)∵PC⊥底面ABCD,AC⊂底面ABCD,∴PC⊥AC,∵AD∥BC且AD=2BC=2,△ABC是等腰直角三角形,∴AC=√2BC=√2,CD=√2,∴CD2+AC2=AD2,即AC⊥CD,又∵PC∩CD=C,∴AC⊥平面PCD,∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PCD.9.解析(1)证明:a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ),|a-b|2=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2=2-2(cosα·cosβ+sinα·sinβ)=2,所以cosα·cosβ+sinα·sinβ=0,所以a⊥b.(2)由题意得{cosα+cosβ=0,①sinα+sinβ=1,②①2+②2得:cos(α-β)=-12.所以α-β=23π,α=23π+β,代入②得:sin(23π+β)+sinβ=√32cosβ+12sinβ=sin(π3+β)=1,所以π3+β=π2,所以α=5π6,β=π6.
