第10讲导数的概念与运算1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为________．解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)．答案：3(x2－a2)2．(2019·南通市高三第一次调研测试)已知两曲线f(x)＝2sinx，g(x)＝acosx，x∈相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为________．解析：设点P的横坐标为x0，则2sinx0＝acosx0，(2cosx0)(－asinx0)＝－1，所以4sin2x0＝1.因为x0∈，所以sinx0＝，cosx0＝，所以a＝.答案：3．已知f(x)＝x(2015＋lnx)，f′(x0)＝2016，则x0＝________．解析：由题意可知f′(x)＝2015＋lnx＋x·＝2016＋lnx．由f′(x0)＝2016，得lnx0＝0，解得x0＝1.答案：14.已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝________．解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，所以f′(3)＝－.因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.答案：05．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．解析：因为f′(x)＝2x＋2f′(1)，所以f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2.所以f′(x)＝2x－4.所以f′(0)＝－4.答案：－46．若以曲线y＝x3＋bx2＋4x＋c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数，则实数b的取值范围为________．解析：y′＝x2＋2bx＋4，因为y′≥0恒成立，所以Δ＝4b2－16≤0，所以－2≤b≤2.答案：[－2，2]7．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′sinx＋cosx，则f′＝________．解析：因为f(x)＝f′sinx＋cosx，所以f′(x)＝f′cosx－sinx，所以f′＝f′cos－sin，即f′＝－1，所以f′(x)＝－sinx－cosx，故f′＝－cos－sin＝－.答案：－8．若直线l与幂函数y＝xn的图象相切于点A(2，8)，则直线l的方程为________．解析：由题意知，A(2，8)在y＝xn上，所以2n＝8，所以n＝3，所以y′＝3x2，直线l的斜率k＝3×22＝12，又直线l过点(2，8)．所以y－8＝12(x－2)，即直线l的方程为12x－y－16＝0.答案：12x－y－16＝09．(2019·江苏省四星级学校联考)已知函数f(x)＝ex＋(a∈R，e为自然对数的底数)的导函数f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则x0＝________．解析：由题意知f′(x)＝ex－a·e－x，因为f′(x)为奇函数，所以f′(0)＝1－a＝0，所以a＝1，故f′(x)＝ex－e－x.因为曲线y＝f(x)在(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，所以f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得ex0＝，所以x0＝ln＝.答案：10．求下列函数的导数．(1)y＝(2x2＋3)(3x－2)；(2)y＝(1－)；(3)y＝3xex－2x＋e.解：(1)因为y＝6x3－4x2＋9x－6，所以y′＝18x2－8x＋9.(2)因为y＝(1－)＝－＝x－x，所以y′＝(x)′－(x)′＝－x－x.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.11．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程．解：(1)由f(x)＝x3－3x，得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，所以所求的直线方程为y＝－2.(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为＝，又＝3x－3，即x－3x0＋2＝3(x－1)(x0－1)，解得x0＝1(舍去)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3×＝－，所以y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.1．已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)，则f′(0)＝________．解析：f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′，所以f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120.答案：－1202．已知f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为________．解析：因为f′(x)＝，所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，所以切线l的方程为y＝x...
