第2讲三角函数的图象及性质1.(2018江苏苏州期中)函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的图象的一条对称轴是直线x=π12,则φ的值是.2.(2018江苏扬州中学模拟)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位长度后,与函数y=sin(2x+π3)的图象重合,则φ=.3.(2018苏锡常镇四市高三调研)已知函数f(x)=sin(πx+φ)(0<φ<2π)在x=2时取得最大值,则φ=.4.(2018江苏徐州模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象如图所示,则f(1)+f(2)+…+f(2018)的值为.5.(2018江苏盐城模拟)已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为偶函数,且其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2,则f(-π8)的值为.6.(2018江苏扬州调研)若将函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π12个单位长度所得到的图象关于原点对称,则φ=.7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0).若f(π3)=0,f(π2)=2,则实数ω的最小值为.8.(2018江苏淮海中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则φ的值为.9.(2018南京、盐城模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-π2<φ<π2)的部分图象如图所示,直线x=π12,x=7π12是其相邻的两条对称轴.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(α2)=-65,且2π3<α<7π6,求cosα的值.10.已知函数f(x)=4sinxcos(x+π3)+√3.(1)求f(x)在区间[-π4,π6]上取得最大值和最小值时x的值;(2)若方程f(x)-t=0在x∈[-π4,π2]上有唯一解,求实数t的取值范围.答案精解精析1.答案π3解析由题意可得π6+φ=π2+kπ,k∈Z,即φ=π3+kπ,k∈Z.又0<φ<π2,所以φ=π3.2.答案5π6解析函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ≤π)的图象向右平移π2个单位长度后,得到函数y=cos[2(x-π2)+φ]=cos(2x-π+φ)的图象,由于它与函数y=sin(2x+π3)=cos(2x-π6)的图象重合,所以-π+φ=-π6+2kπ,k∈Z,又-π≤φ≤π,所以φ=5π6.3.答案π2解析由题意得f(2)=sin(2π+φ)=sinφ=1,因为0<φ<2π,所以φ=π2.4.答案√2+2解析由图象可得A=2,周期T=8,则ω=2πT=π4,故f(2)=2sin(π2+φ)=2,即cosφ=1,则φ=2kπ,k∈Z,则f(x)=2sinπ4x,且f(1)+f(2)+…+f(8)=0,所以f(1)+f(2)+…+f(2018)=252(f(1)+f(2)+…+f(8))+f(1)+f(2)=2×√22+2=√2+2.5.答案√2解析因为函数f(x)=√3sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ-π6)为偶函数,所以φ-π6=π2+kπ,k∈Z,所以φ=2π3+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=2π3,故f(x)=2sin(ωx+π2)=2cosωx.又其图象的两条相邻对称轴间的距离为π2,则T=π=2πω,即ω=2,故f(x)=2cos2x,则f(-π8)=2cos(-π4)=√2.6.答案π3解析函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π12个单位长度所得到是函数f(x)=cos[2(x+π12)+φ]=cos(2x+π6+φ)的图象,所得图象关于原点对称,得π6+φ=π2+kπ,k∈Z,即φ=π3+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以k=0,φ=π3.7.答案3解析函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0),f(π3)=0,f(π2)=2,则当实数ω取得最小值时,最小正周期取得最大值4×(π2-π3)=2π3,此时ω=2π2π3=3.8.答案π6解析将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度,得到的函数y=sin[2(x-φ)+π3]=sin(2x-2φ+π3)的图象,所得图象经过坐标原点,则-2φ+π3=kπ,k∈Z,即φ=π6-kπ2,k∈Z.又0<φ<π2,所以k=0,φ=π6.9.解析(1)设f(x)的周期为T,则T2=7π12-π12=π2,所以T=π.又T=2πω,所以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ).因为点(π12,2)在该函数图象上,所以2sin(2×π12+φ)=2,即sin(π6+φ)=1.因为-π2<φ<π2,所以φ=π3,所以f(x)=2sin(2x+π3).(2)由f(α2)=-65,得sin(α+π3)=-35.因为2π3<α<7π6,所以π<α+π3<3π2,所以cos(α+π3)=-√1-sin2(α+π3)=-45,所以cosα=cos[(α+π3)-π3]=cos(α+π3)cosπ3+sin(α+π3)sinπ3=-45×12+(-35)×√32=-4+3√310.10.解析(1)f(x)=4sinx·(cosxcosπ3-sinxsinπ3)+√3=2sinx·cosx-2√3sin2x+√3=sin2x+√3cos2x=2sin(2x+π3).因为-π4≤x≤π6,所以-π6≤2x+π3≤2π3,所以-12≤sin(2x+π3)≤1,所以-1≤f(x)≤2,当2x+π3=-π6,即x=-π4时,f(x)min=-1;当2x+π3=π2,即x=π12时,f(x)max=2.(2)因为-π4≤x≤π12时,-π6≤2x+π3≤π2,-1≤2sin(2x+π3)≤2,且f(x)在[-π4,π12]上单调递增;当π12≤x≤π2时,π2≤2x+π3≤4π3,-√3≤2sin(2x+π3)≤2,且f(x)在[π12,π2]上单调递减,所以f(x)=t在x∈[-π4,π2]上有唯一解时,对应t的取值范围为[-√3,-1)或t=2.
