第3讲平面向量1.(2018南京调研)已知向量a=(1,2),b=(-2,1).若向量a-b与向量ka+b共线,则实数k的值是.2.(2017江苏扬州中学阶段性测试)已知点P在直线AB上,且|⃗AB|=4|⃗AP|,设⃗AP=λ⃗PB,则实数λ=.3.(2018江苏海安高级中学月考)已知向量a=(1,√3),b=(√3,1),则a与b的夹角大小为.4.(2018江苏扬州调研)在△ABC中,AH是底边BC上的高,点G是三角形的重心,若AB=2,AC=4,∠BAH=30°,则(⃗AH+⃗BC)·⃗AG=.5.(2018江苏扬州中学模拟)如图,已知AC=BC=4,∠ACB=90°,M为BC的中点,D是以AC为直径的圆上一动点,则⃗AM·⃗DC的最小值是.6.在平行四边形ABCD中,⃗AB=a,⃗AD=b.若|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为π3,则线段BD的长度为.7.(2018江苏盐城中学阶段性检测)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,D是BC的中点,E是AB的中点,P是△ABC(包括边界)内任一点,则⃗AD·⃗EP的取值范围是.8.(2018江苏徐州模拟)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,且AB=4,DC=2,∠BAD=π3,E为BC的中点,若⃗AE·⃗DB=9,则对角线AC的长为.9.(2018江苏南京师大附中模拟)已知A,B,C是△ABC的三个内角,向量m=(-1,√3),n=(cosA,sinA),且m·n=1.(1)求A的值;(2)若1+sin2Bcos2B-sin2B=-3,求tanC的值.答案精解精析1.答案-1解析a-b=(3,1)与ka+b=(k-2,2k+1)共线,则3(2k+1)-(k-2)=0,解得k=-1.2.答案13或-15解析由题意可得⃗AB=4⃗AP或⃗AB=-4⃗AP,则⃗AP+⃗PB=4⃗AP或⃗AP+⃗PB=-4⃗AP,则⃗PB=3⃗AP或⃗PB=-5⃗AP,则λ=13或-15.3.答案π6解析由已知得a·b=2√3,则cos
=a·b|a|·|b|=√32,又∈[0,π],则=π6.4.答案6解析由AH是底边BC上的高,且AB=2,AC=4,∠BAH=30°,得AH=√3,BH=1,HC=√13.以点H为坐标原点,BC所在直线为x轴,AH所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,√3),B(-1,0),H(0,0),C(√13,0),G(√13-13,√33),则(⃗AH+⃗BC)·⃗AG=(√13+1,-√3)·(√13-13,-2√33)=13-13+2=6.5.答案8-4√5解析以AC的中点O为坐标原点,AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(-2,0),C(2,0),B(2,-4),M(2,-2).设D(2cosθ,2sinθ),则⃗AM·⃗DC=(4,-2)·(-2cosθ+2,-2sinθ)=4sinθ-8cosθ+8=4√5sin(θ-φ)+8,则⃗AM·⃗DC的最小值是8-4√5.6.答案√7解析因为⃗BD=b-a,所以|⃗BD|=√(b-a)2=√9-2×2×3×12+4=√7.7.答案[-9,9]解析以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,4),B(2,0),D(1,0),E(1,2).设P(x,y),则⃗AD·⃗EP=(1,-4)·(x-1,y-2)=x-4y+7,记z=⃗AD·⃗EP,当直线z=x+4y+7经过点A时,z取得最小值-9,经过点B时,z取得最大值9,故⃗AD·⃗EP取值范围是[-9,9].8.答案2√3解析以点A为坐标原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,设AD=m,则D(m2,√32m),B(4,0),C(m2+2,√32m),E(m4+3,√34m),⃗AE·⃗DB=(m4+3,√34m)·(4-m2,-√32m)=-12m2-12m+12=9,解得m=2(舍负),则C(3,√3),AC=2√3.9.解析(1)因为m·n=1,所以(-1,√3)·(cosA,sinA)=1,即√3sinA-cosA=1,则2(sinA·√32-cosA·12)=1,即sin(A-π6)=12.又0
