第3讲平面向量1.(2017江苏兴化第一中学月考)已知向量a=(1,x),b=(-2,1),若a⊥b,则实数x=.2.(2017江苏南通中学期末)化简:sin13°cos17°+sin17°cos13°=.3.(2018江苏五校学情检测)向量a=(2,-6),b=(-1,m),若a∥b,则实数m的值为.4.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为60°,则|a-3b|=.5.(2017江苏宿迁期末)若sin(α-π6)=13,其中π<α<76π,则sin(2π3-α)的值为.6.若函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示,M,N分别是图象的最高点和最低点,横坐标分别为1,7.记点P(2,f(2)),点Q(5,f(5)),则⃗MP·⃗NQ的值为.7.若函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象与直线y=m的三个相邻交点的横坐标分别是π6,π3,2π3,则实数ω的值为.8.(2018江苏南京多校段考)已知向量a=(cosθ,sinθ),b=(2,-1).(1)若a⊥b,求sinθ-cosθsinθ+cosθ的值;(2)若|a-b|=2,θ∈(0,π2),求sin(θ+π4)的值.9.(2017江苏盐城高三期中)设直线x=-π6是函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴.(1)求函数f(x)的最大值及取得最大值时x的值;(2)求函数f(x)在[0,π]上的减区间.答案精解精析1.答案2解析由a⊥b得a·b=-2+x=0,则x=2.2.答案12解析原式=sin(13°+17°)=sin30°=12.3.答案3解析由a∥b得2m=6,解得m=3.4.答案√67解析a·b=|a|·|b|cos60°=3,则|a-3b|=√(a-3b)2=√4-18+81=√67.5.答案-2√23解析由π<α<7π6得5π6<α-π6<π,又sin(α-π6)=13,则cos(α-π6)=-√1-sin2(α-π6)=-2√23,则sin(2π3-α)=sin[π2-(α-π6)]=cos(α-π6)=-2√23.6.答案√3-4解析由图象可得最小正周期T=12=2πω,即ω=π6,M(1,2),N(7,-2)在图象上,则f(1)=2sin(π6+φ)=2,|φ|<π2,则φ=π3,则f(x)=2sin(π6x+π3),则f(2)=2sin2π3=√3,f(5)=2sin7π6=-1,故P(2,√3),Q(5,-1),所以⃗MP·⃗NQ=(1,√3-2)·(-2,1)=-2+√3-2=√3-4.7.答案4解析由题意可得该函数的最小正周期T=2π3-π6=π2,则ω=2πT=4.8.解析(1)由a⊥b可知,a·b=2cosθ-sinθ=0,所以sinθ=2cosθ,所以sinθ-cosθsinθ+cosθ=2cosθ-cosθ2cosθ+cosθ=13.(2)由a-b=(cosθ-2,sinθ+1)可得|a-b|=√(cosθ-2)2+(sinθ+1)2=√6-4cosθ+2sinθ=2,即1-2cosθ+sinθ=0.①又cos2θ+sin2θ=1,且θ∈(0,π2),②由①②可解得{sinθ=35,cosθ=45,所以sin(θ+π4)=√22(sinθ+cosθ)=√22×(35+45)=7√210.9.解析(1)∵直线x=-π6是函数f(x)的图象的一条对称轴,∴f(-π6+x)=f(-π6-x)对x∈R恒成立.∴sin(-π6+x)+acos(-π6+x)=sin(-π6-x)+acos(-π6-x)对x∈R恒成立,即(a+√3)sinx=0对x∈R恒成立,得a=-√3.从而f(x)=sinx-√3cosx=2sin(x-π3).故当x-π3=2kπ+π2(k∈Z),即x=2kπ+5π6(k∈Z)时,f(x)取得最大值2.(2)由2kπ+π2≤x-π3≤2kπ+3π2,解得2kπ+5π6≤x≤11π6+2kπ,k∈Z.取k=0,可得函数f(x)在[0,π]上的减区间为[5π6,π].
