第六章平面向量与复数第31课平面向量的数量积与平面向量应用课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a＝________.－[依题意有a·b＋b·c＋c·a＝＋＋＝－.]2．(2017·启东中学高三第一次月考)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则m＝________.8[ a＝(1，m)，b＝(3，－2)，∴a＋b＝(4，m－2)．由(a＋b)⊥b可知，(a＋b)·b＝0.即12－2(m－2)＝0，∴m＝8.]3．已知点A(0,1)，B(－2,3)，C(－1,2)，D(1,5)，则向量AC在BD方向上的投影为________．－[ AC＝(－1,1)，BD＝(3,2)，∴AC在BD方向上的投影为|AC|cos〈AC，BD〉＝＝＝＝－.]4．(2017·盐城模拟)已知|a|＝4，|b|＝2，且a与b夹角为120°，则(a＋2b)·(a＋b)＝________.12[ |a|＝4，|b|＝2，∴a·b＝4×2×cos120°＝－4.∴(a＋2b)·(a＋b)＝a2＋3a·b＋2b2＝16－12＋8＝12.]5．已知平面向量a与b的夹角为，a＝(1，)，|a－2b|＝2，则|b|＝________.【导学号：62172168】2[由题意得|a|＝＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2cos|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．]6．(2017·南通模拟)已知向量a，b满足a＝(4，－3)，|b|＝1，|a－b|＝，则向量a，b的夹角为________．[ a＝(4，－3)，∴|a|＝5，又|a－b|＝∴|a－b|2＝a2＋b2－2a·b，即21＝25＋1－2a·b，∴a·b＝.设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.]7．在△ABC中，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的________(填“重心”“垂心”“内心”或“外心”)．垂心[ OA·OB＝OB·OC，∴OB·(OA－OC)＝0，∴OB·CA＝0，∴OB⊥CA，即OB为△ABC底边CA上的高所在直线．同理OA·BC＝0，OC·AB＝0，故O是△ABC的垂心．]8．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________.【导学号：62172169】[因为AP⊥BC，所以AP·BC＝0，所以(λAB＋AC)·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝λAB·AC－λAB2＋AC2－AC·AB＝0.因为向量AB与AC的夹角为120°，|AB|＝3，|AC|＝2，所以(λ－1)|AB||AC|·cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝.]9．(2017·南京一模)如图313，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，DC＝2BD，则AD·BC的值为________．图313－2[ BC＝AC－AB，∴AD·BC＝(AB＋BD)·BC＝·(AC－AB)＝·(AC－AB)＝－AB2＋AC2＋AB·AC＝－×9＋×9＋×3×3×＝－6＋3＋1＝－2.]10．(2016·天津高考改编)已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连结DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则AF·BC的值为________．[如图所示，AF＝AD＋DF.又D，E分别为AB，BC的中点，且DE＝2EF，所以AD＝AB，DF＝AC＋AC＝AC，所以AF＝AB＋AC.又BC＝AC－AB，则AF·BC＝·(AC－AB)＝AB·AC－AB2＋AC2－AC·AB＝AC2－AB2－AC·AB.又|AB|＝|AC|＝1，∠BAC＝60°，故AF·BC＝－－×1×1×＝.]二、解答题11．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)．(1)求以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足(AB－tOC)·OC＝0，求t的值.【导学号：62172170】[解](1)由题设知AB＝(3,5)，AC＝(－1,1)，则AB＋AC＝(2,6)，AB－AC＝(4,4)．所以|AB＋AC|＝2，|AB－AC|＝4.故所求的两条对角线长分别为4，2.(2)由题设知OC＝(－2，－1)，AB－tOC＝(3＋2t,5＋t)．由(AB－tOC)·OC＝0，得(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，从而5t＝－11，所以t＝－.12．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB＝a，BC＝b，求△ABC的面积．[解](1) (2a－3b)·(2a＋b)＝61.∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又 |a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝＝＝－，又 0≤θ≤π，∴θ＝.(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝.(3) AB与BC的夹角θ＝，∴∠ABC＝π－＝.又|AB|＝|a|＝4，|BC|＝|b|＝3，∴S△ABC＝|AB||BC|sin∠ABC＝×4×3×＝3.B组能力提升(建议用时：15分钟)1．(2017·南通一模)已知边长为4的正三...
