1．数列的定义按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．2．数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列an＋1__>__an其中n∈N*递减数列an＋1__<__an常数列an＋1＝an按其他标准分类有界数列存在正数M，使|an|≤M摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．已知数列{an}的前n项和Sn，则an＝【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．(×)(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√)(3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．(×)(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(×)(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(√)(6)在数列{an}中，对于任意正整数m，n，am＋n＝amn＋1，若a1＝1，则a2＝2.(√)1．已知数列{an}中，a1＝1，＝＋3(n∈N*)，则a10＝________.答案解析由题意得－＝3.∴－＝3，－＝3，－＝3，－＝3，…，－＝3，对递推式叠加得－＝27，故a10＝.2．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为用这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是________．答案28解析根据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.3．数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N*)，则数列{an}的通项公式是__________．答案an＝3n－1解析由an＋1＝2Sn＋1可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，a3＝3·a2＝32·a1＝32，a4＝3a3＝33…an＝3an－1＝3n－1.4．(教材改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.答案5n－45．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.答案解析当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，故an＝题型一由数列的前几项求数列的通项公式例1(1)数列0，，，，…的一个通项公式为________．①an＝(n∈N*)②an＝(n∈N*)③an＝(n∈N*)④an＝(n∈N*)(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝________.答案(1)③(2)解析(1)注意到分母0,2,4,6都是偶数，对照所给项排除即可．(2)数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.思维升华根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1,7，－13,19，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)，，－，，－，，….解(1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列变为，，，…，故an＝.(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－，原数列化为－，，－，，…，故an＝(－1)n.题型二由数列的前n项和求数列的通项公式例2设数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn}的前n项和为Tn，满足Tn＝2Sn－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的通项公式．解(1)令n＝1时，T1＝2S1－1，因为T1＝S1＝a1，所以a1＝2a1－1，所以a1＝1.(2)n≥2时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2，则Sn＝Tn－Tn－1＝2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1，两式相减得an＝2an－2an－1－2，所以an＝2an－1＋2(n≥2)，所以an＋2＝2(an－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{an＋2}是以3为首项，公比为2的等比数列．所以an＋2＝3×2n－1，所以an＝3×2n－1－2，当n＝1时...
