基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2015·安徽卷)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________.解析由已知数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列.∴S9＝9×1＋×＝9＋18＝27.答案272.(2016·南通调研)若等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝4，S4＝10，则数列的前2015项和为________.解析 ∴∴an＝n，∴＝－，∴前2015项和为＋＋…＋＝.答案3.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于________.解析S100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＋[－3－(－3)－3＋…－(－3)]＝4×(－50)＝－200.答案－2004.在等比数列{an}中，若a1＝，a4＝－4，则公比q＝________；|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝________.解析设等比数列{an}的公比为q，则a4＝a1q3，代入数据解得q3＝－8，所以q＝－2；等比数列{|an|}的公比为|q|＝2，则|an|＝×2n－1，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＝(2n－1)＝2n－1－.答案－22n－1－5.已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于________.解析由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.答案1006.已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为________.解析an＝＝，∴bn＝＝＝4，∴Sn＝4＝4＝.答案7.(2016·苏北四市模拟)数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，且a1＝1，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.解析由an＋an＋1＝＝an＋1＋an＋2，∴an＋2＝an，则a1＝a3＝a5＝…＝a21，a2＝a4＝a6＝…＝a20，∴S21＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(a20＋a21)＝1＋10×＝6.答案68.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2013＝________.解析由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，该数列是周期为4的数列，所以S2013＝503(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2013＝503×(－2)＋1＝－1005.答案－1005二、解答题9.(2016·太原模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝2S2＋4，a5＝36.(1)求an，Sn；(2)设bn＝Sn－1(n∈N*)，Tn＝＋＋＋…＋，求Tn.解(1)因为S3＝2S2＋4，所以a1－d＝－4，又因为a5＝36，所以a1＋4d＝36.解得d＝8，a1＝4，所以an＝4＋8(n－1)＝8n－4，Sn＝＝4n2.(2)bn＝4n2－1＝(2n－1)(2n＋1)，所以＝＝.Tn＝＋＋＋…＋＝＝＝.10.(2015·天津卷)已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和.解(1)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意知q＞0.由已知，有消去d，整理得q4－2q2－8＝0，又因为q＞0，解得q＝2，所以d＝2.所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)有cn＝(2n－1)·2n－1，设{cn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，上述两式相减，得－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知数列2008，2009，1，－2008，－2009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2014项之和S2014等于________.解析由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1.故数列的前8项依次为2008，2009，1，－2008，－2009，－1，2008，2009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S6＝0. 2014＝6×335＋4，∴S2014＝S4＝2008＋2009＋1＋(－2008)＝2010.答案201012.(2016·苏、锡、常、镇调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2016＝________.解析a1＝1，a2＝＝2，又＝＝2.∴＝2....
