第16课导数的概念及运算(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(选修1-1P57例4改编)函数f(x)=-2x+10在区间[-3，-1]内的平均变化率为.【答案】-2【解析】==-2.2.(选修2-2P14练习2改编)若函数f(x)=，则f'(1)=.【答案】【解析】因为f'(x)=，所以f'(1)=×=.3.(选修2-2P12练习2改编)一个物体的运动方程为s=1-t+t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3s末的瞬时速度是m/s.【答案】5【解析】s'(t)=2t-1，s'(3)=2×3-1=5.4.(选修2-2P20练习2改编)已知函数f(x)=sinx+cosx，x∈(0，2π).若f'(x0)=0，则x0=.【答案】【解析】f'(x)=cosx-sinx，因为f'(x0)=0，则f'(x0)=cosx0-sinx0=0，所以x0=.5.(选修2-2P26习题8改编)已知函数f(x)=，则f(x)的导函数f'(x)=.【答案】【解析】因为f(x)=，所以由导数运算法则得f'(x)==.1.函数的平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.2.导数的概念设函数y=f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，比值=无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x=x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x=x0处的导数，记作f'(x0).若函数y=f(x)在开区间(a，b)内任意一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着x的变化而变化，因而是自变量x的函数，该函数称作f(x)的导函数，记作f'(x).3.导数的几何意义(1)设s=s(t)是位移函数，则s'(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时速度.(2)设v=v(t)是速度函数，则v'(t0)表示物体在t=t0时刻的瞬时加速度.4.基本初等函数求导公式(1)(xα)'=α(α为常数)；(2)(ax)'=axlna(a>0且a≠1)，(ex)'=ex；(3)(logax)'=(a>0且a≠1)，(lnx)'=；(4)(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx.5.导数的四则运算法则(1)'=f'(x)±g'(x)；(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；(3)'=cf'(x)(c为常数)；(4)'=(g(x)≠0).*6.复合函数求导的运算法则一般地，设函数u=φ(x)在点x处有导数u'x=φ'(x)，函数y=f(u)在u处有导数y'u=f'(u)，则复合函数y=f(φ(x))在点x处也有导数，且y'x=y'u·u'x.【要点导学】要点导学各个击破利用定义求导数例1利用导数的定义解答下列问题.(1)求f(x)=在x=1处的导数；(2)求f(x)=的导数.【思维引导】由导数的定义可知，函数y=f(x)在x处的导数是函数的增量Δy=f(x+Δx)-f(x)与自变量的增量Δx之比在Δx→0时的无限趋近值.【解答】(1)因为=====，所以当Δx→0时，→-.所以f'(1)=-.(2)因为====，所以当Δx→0时，→-，所以f'(x)=-.【精要点评】(1)根据概念求函数的导数是求导的基本方法，要注意遵照“一差”、“二比”、“三趋零”的求导步骤；(2)要注意区分函数的导数与导数值的区别与联系，欲求导数值，先求其导数，再将数值代入.变式设函数f(x)在x=x0处可导.(1)若当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1，求f'(x0)的值；(2)若当Δx无限趋近于0时，无限趋近于1，求f'(x0)的值.【解答】(1)=·，当Δx→0时，上式→，故f'(x0)=.(2)=-·，当Δx→0时，上式→-，故f'(x0)=-.求导公式的应用例2(1)函数f(x)=-cosx在x=时的导数值为；(2)函数y=x3-2x的导数为；(3)函数y=sinx-2ex的导数为.【思维引导】(1)注意到-cosx的导数是sinx，再将x=的值代入即可；(2)函数和与差的导数等于导数的和与差，ex的导数仍然是ex.【答案】(1)(2)y'=3x2-2(3)y'=cosx-2ex【解析】(1)f'(x)=sinx，当x=时，f'=.【精要点评】求函数的导数的方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)根式形式：先化为分数指数幂，再求导；(3)复杂公式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再求导.变式(1)函数y=+的导数为；(2)函数y=x的导数为.【答案】(1)y'=(2)y'=3x2-【解析】(1)因为y=+=，所以y'='=.(2)因为y=x3+1+，所以y'=3x2-.导数物理意义的应用例3神舟飞船发射后的一段时间内，第ts时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位是s.(1)求第1s内的平均速度v；(2)求第1s末的瞬时速度；(3)经过多长时间飞船的速度达到75m/s?【思维引导】飞船在ts到(t+Δt)s时间内的平均速度为=.飞船在ts末的瞬时速度是当Δt→0时，=无限趋近的常数值，也就是h(t)在(t，h(t))处的导数，即v(t)=h'(t).【解答】(1)v==80(m/s).(2)v(t)=h'(t)=15t2+60t+45，所以v(1)=1...
