第十一章计数原理、随机变量及其分布第6讲离散型随机变量的均值与方差练习理基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1.(2016·茂名模拟)若离散型随机变量X的概率分布为X01P则X的数学期望E(X)＝________.解析由概率分布的性质，＋＝1，∴a＝1.故E(X)＝×0＋×1＝.答案2.已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为________，________.解析由二项分布X～B(n，p)及E(X)＝np，V(X)＝np·(1－p)得2.4＝np，且1.44＝np(1－p)，解得n＝6，p＝0.4.答案60.43.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的方差V(X)的值为________.解析因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，∴V(X)＝4×＝.答案4.口袋中有5只球，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是________.解析由题意知，X可以取3，4，5，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝＝，所以E(X)＝3×＋4×＋5×＝4.5.答案4.55.某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________.解析记“不发芽的种子数为Y”，则Y～B(1000，0.1)，所以E(Y)＝1000×0.1＝100，而X＝2Y，故E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案2006.已知X的概率分布为X－101Pa设Y＝2X＋1，则Y的数学期望E(Y)的值是________.解析由概率分布的性质，a＝1－－＝，∴E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝.答案7.(2016·青岛模拟)设X为随机变量，X～B，若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则P(X＝2)等于________.解析由X～B，E(X)＝2，得np＝n＝2，∴n＝6，则P(X＝2)＝C＝.答案8.(2014·浙江卷)随机变量ξ的取值为0，1，2.若P(ξ＝0)＝，E(ξ)＝1，则V(ξ)＝________.解析设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则解得所以V(ξ)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.答案二、解答题9.(2016·常州调研)某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算).甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为，，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过三小时.(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与数学期望E(ξ).解(1)甲、乙两人所付车费用相同即为2，4，6元.由题意知甲、乙超过两小时还车的概率分别为1－－＝，1－－＝.都付2元的概率为P1＝×＝，都付4元的概率为P2＝×＝，都付6元的概率为P3＝×＝，故所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.(2)依题意知，ξ的可能取值为4，6，8，10，12.P(ξ＝4)＝×＝，P(ξ＝6)＝×＋×＝，P(ξ＝8)＝×＋×＋×＝，P(ξ＝10)＝×＋×＝，P(ξ＝12)＝×＝.故ξ的概率分布为ξ4681012P所求数学期望E(ξ)＝4×＋6×＋8×＋10×＋12×＝.10.(2016·南京、盐城模拟)某中学有4位学生申请A，B，C三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的.(1)求恰有2人申请A大学的概率；(2)求被申请大学的个数X的概率分布与数学期望E(X).解(1)记“恰有2人申请A大学”为事件A，P(A)＝＝＝.即恰有2人申请A大学的概率为.(2)X的所有可能值为1，2，3.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝.X的概率分布为X123P所以X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.能力提升题组(建议用时：25分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则V(X)＝________.解析由题意，X～B，又E(X)＝＝3，∴m＝2，则X～B，故V(X)＝5××＝.答案12.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0，1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为________.解析设投篮得分为随机变量X，则X的分布列为X320Pabc依题意，E(X)＝3...
