第19课导数与函数、不等式的综合问题[最新考纲]内容要求ABC利用导数研究函数的零点问题√利用导数证明不等式√最值与不等式各类不等式与函数最值的关系如下表：不等式类型与最值的关系任意的x∈D，f(x)>M任意的x∈D，f(x)min>M任意的x∈D，f(x)M任意的x∈D，f(x)max>M存在x∈D，f(x)g(x)任意的x∈D，[f(x)－g(x)]min>0任意的x∈D，f(x)g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)min>g(x)max任意的x1∈D1，存在x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)min>g(x)min存在x1∈D1，任意的x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)max>g(x)max存在x1∈D1，存在x2∈D2，f(x1)>g(x2)任意的x∈D1，任意的x∈D2，f(x)max>g(x)min1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式f(x)≥g(x)对∀x∈R恒成立，等价于f(x)min>g(x)max.()(2)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的图象与x轴最多有3个交点，最少有一个交点．()(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)．()(4)“存在x∈(a，b)，使f(x)≥a”与“任意x∈(a，b)，使f(x)≥a”，这两个说法相同．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)若函数y＝m与y＝3x－x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为________．(－2,2)[y′＝3(1－x)(1＋x)，令y′＝0，得x＝±1，所以y极大值＝2，y极小值＝－2，作出函数y＝3x－x3和y＝m的大致图象(如图)，根据图象知－20时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________.【导学号：62172105】(－∞，－1)∪(0,1)[记函数g(x)＝，则g′(x)＝，因为当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，故当x>0时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(－∞，0)上单调递增，且g(－1)＝g(1)＝0.当00，则f(x)>0；当x<－1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．]角度2证明不等式(2015·福建高考节选)已知函数f(x)＝lnx－.(1)证明：当x>1时，f(x)1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)>k(x－1)．[解](1)证明：令F(x)＝f(x)－(x－1)，x∈(0，＋∞)，则有F′(x)＝.当x∈(1，＋∞)时，F′(x)<0，所以F(x)在[1，＋∞)上单调递减，故当x>1时，F(x)1时，f(x)1满足题意．当k>1时，对于x>1，有f(x)1满足题意．当k<1时，令G(x)＝f(x)－k(x－1)，x∈(0，＋∞)，则有G′(x)＝－x＋1－k＝.由G′(x)＝0，得－x2＋(1－k)x＋1＝0，解得x1＝<0，x2＝>1.当x∈(1，x2)时，G′(x)>0，故G(x)在[1，x2)内单调递增．从而当x∈(1，x2)时，G(x)>G(1)＝0，即f(x)>k(x－1)，综上，k的取值范围是(－∞，1)．角度3不等式恒成立问题已知f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－3.(...
