第四章导数及其应用第20课函数建模问题(一)——函数、导数、不等式课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)1.据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例常数为k(k>0)．现已知相距18km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．[解](1)设点C受A污染源污染程度为，点C受B污染源污染程度为，其中k为比例系数，且k>0，从而点C处受污染程度y＝＋.(2)因为a＝1，所以y＝＋，y′＝k，令y′＝0，得x＝，又此时x＝6，解得b＝8，经验证符合题意，所以，污染源B的污染强度b的值为8.2.某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入(x2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.【导学号：62172112】[解](1)设每件定价为x元，依题意，有x≥25×8，整理得x2－65x＋1000≤0，解得25≤x≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．(2)依题意，x>25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，等价于x>25时，a≥＋x＋有解． ＋x≥2＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2.∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.B组能力提升(建议用时：15分钟)1.(2017·南京模拟)经市场调查，某商品每吨的价格为x(1
0)；月需求量为y2万吨，y2＝－x2－x＋1.当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．(1)若a＝，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？(2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格．若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．[解](1)若a＝，由y2>y1，得－x2－x＋1>x＋2－.解得－400，得x<8，所以g(x)在[6,8)上是增函数，在(8,14)上是减函数，当x＝8时，g(x)有最大值g(8)＝.综上得，若a＝，商品的每吨价格定为8百元时，月销售额最大．(2)设f(x)＝y1－y2＝x2＋x＋a2－1－a，因为a>0，所以f(x)在区间(1,14)上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f(x)在区间[6,14)上有零点，所以即解得0
