训练目标(1)向量知识的综合运用；(2)向量与其他知识的结合．训练题型(1)向量与三角函数；(2)向量与解三角形；(3)向量与平面解析几何；(4)与平面向量有关的新定义问题．解题策略(1)利用向量解决三角问题，可借助三角函数的图象、三角形中边角关系；(2)解决向量与平面解析几何问题的基本方法是坐标法；(3)新定义问题应对条件转化，化为学过的知识再求解.1．(2016·常州模拟)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则＝________.2．设O在△ABC的内部，D为AB的中点，且OA＋OB＋2OC＝0，则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为________．3．(2016·南通、连云港、扬州、淮安三模)在平行四边形ABCD中，若AC·AD＝AC·BD＝3，则线段AC的长为________．4．已知不共线向量OA、OB，且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则点(x，y)的轨迹方程是____________．5．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为边BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF＝，则AE·BF的值是________________．6．若向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且|a＋b|≤2a·b，则cos(α－β)的值是________．7．在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，则当A＝时，△ABC的面积为________．8．(2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1,3，点B，C分别在m，n上，|AB＋AC|＝5，则AB·AC的最大值是________．9．定义一种向量运算“⊗”：a⊗b＝(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论：①a⊗b＝b⊗a；②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b(λ∈R)；③(a＋b)⊗c＝a⊗c＋b⊗c；④若e是单位向量，则|a⊗e|≤|a|＋1.以上结论一定正确的是________．(填上所有正确结论的序号)10．已知m，x∈R，向量a＝(x，－m)，b＝((m＋1)x，x)．(1)当m＞0时，若|a|＜|b|，求x的取值范围；(2)若a·b＞1－m对任意实数x恒成立，求m的取值范围．答案精析1．－2.43.4.x＋y－2＝05.解析以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则AB＝(，0)，AD＝(0,2)，AE＝(，1)，设AF＝(x,2)，0≤x≤，则AB·AF＝x＝，解得x＝1，所以F(1,2)，BF＝(1－，2)，于是AE·BF＝.6．1解析由|a＋b|≤2a·b可得a·b≥0，两边平方得2＋2a·b≤4(a·b)2，即(2a·b＋1)(a·b－1)≥0，所以a·b＝cos(α－β)≥1，又由余弦函数的值域可得cos(α－β)＝1.7.解析已知A＝，由题意得|AB||AC|cos＝tan，则|AB||AC|＝，所以△ABC的面积S＝|AB||AC|·sin＝××＝.8.解析设P为BC的中点，则AB＋AC＝2AP，从而由|AB＋AC|＝5得|AP|＝，又AB·AC＝(AP＋PB)·(AP＋PC)＝AP2－PB2＝－PB2，因为|BC|≥2，所以PB2≥1，故AB·AC≤－1＝，当且仅当|BC|＝2时等号成立．9．①④解析当a，b共线时，a⊗b＝|a－b|＝|b－a|＝b⊗a，当a，b不共线时，a⊗b＝a·b＝b·a＝b⊗a，故①是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a⊗b)＝0，(λa)⊗b＝|0－b|≠0，故②是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)⊗c＝|a＋b－c|，a⊗c＋b⊗c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故③是错误的；当e与a不共线时，|a⊗e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a⊗e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故④是正确的．综上，结论一定正确的是①④.10．解(1)由题意得|a|2＝x2＋m2，|b|2＝(m＋1)2x2＋x2.因为|a|＜|b|，所以|a|2＜|b|2，从而x2＋m2＜(m＋1)2x2＋x2.因为m＞0，所以()2＜x2，解得x＜－或x＞.即x的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．(2)a·b＝(m＋1)x2－mx.由题意，得(m＋1)x2－mx＞1－m对任意的实数x恒成立，即(m＋1)x2－mx＋m－1＞0对任意的实数x恒成立．当m＋1＝0，即m＝－1时，显然不成立，所以解得所以m＞.即m的取值范围是(，＋∞)．
