第四章导数及其应用热点探究训练2函数、导数与不等式1.设函数f(x)＝(a∈R)．(1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若f(x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围.【导学号：62172116】[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝＝.3分因为f(x)在x＝0处取得极值，所以f′(0)＝0，即a＝0.当a＝0时，f(x)＝，f′(x)＝，故f(1)＝，f′(1)＝，从而f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝(x－1)，化简得3x－ey＝0.7分(2)由(1)知f′(x)＝，令g(x)＝－3x2＋(6－a)x＋a，由g(x)＝0解得x1＝，x2＝.9分当x0，即f′(x)>0，故f(x)为增函数；当x>x2时，g(x)<0，即f′(x)<0，故f(x)为减函数.11分由f(x)在[3，＋∞)上为减函数，知x2＝≤3，解得a≥－.故a的取值范围为.14分2.(2017·苏州模拟)设函数f(x)＝－k(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围．[解](1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝－k＝－＝.由k≤0可得ex－kx>0，所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞).6分(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0,2)内单调递减，故f(x)在(0,2)内不存在极值点；当k>0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞)．因为g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，当00，y＝g(x)单调递增，故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点；当k>1时，得x∈(0，lnk)时，g′(x)<0，函数y＝g(x)单调递减，x∈(lnk，＋∞)时，g′(x)>0，函数y＝g(x)单调递增．所以函数y＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1－lnk)．函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当解得e0)．当a>0时，f(x)的单调增区间为(0,1]，减区间为[1，＋∞)；当a<0时，f(x)的单调增区间为[1，＋∞)，减区间为(0,1]；当a＝0时，f(x)不是单调函数.4分(2)由f′(2)＝－＝1得a＝－2，∴f′(x)＝.∴g(x)＝x3＋x2－2x，∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2，∴由题意知：对于任意的t∈[1,2]，g′(t)<0恒成立，所以有：∴－f(1)，即－lnx＋x－1>0，∴lnx
