训练目标(1)平面向量与三角函数解三角形的综合训练；(2)数形结合转化与化归的数学思想．训练题型(1)三角函数化简，求值问题；(2)三角函数图象及性质；(3)解三角形；(4)向量与三角形的综合．解题策略(1)讨论三角函数的性质，可先进行三角变换，化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式或复合函数；(2)以向量为载体的综合问题，要利用向量的运算及性质进行转化，脱去向量外衣.1．已知函数f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)，g(x)＝2sin2.(1)若α是第一象限角，且f(α)＝，求g(α)的值；(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．2．(2016·河南、河北、山西质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝asinC－ccosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝2，△ABC的面积S＝，求b，c.3．已知向量m＝(sinx,1)，n＝(Acosx，cos2x)(A＞0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求角A的大小；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在[0，]上的值域．4．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A(1,0)和点B(－1,0)，|OC|＝1，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．(1)若x＝π，设点D为线OA上的动点，求|OC＋OD|的最小值；(2)若x∈[0，]，向量m＝BC，n＝(1－cosx，sinx－2cosx)，求m·n的最小值及对应的x值．5．(2016·徐州模拟)已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx(ω＞0)的最小正周期为π.(1)当x∈[0，]时，求函数y＝f(x)的值域；(2)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f()＝，且a＝4，b＋c＝5，求△ABC的面积．答案精析1．解f(x)＝sin(x－)＋cos(x－)＝sinx－cosx＋cosx＋sinx＝sinx，g(x)＝2sin2＝1－cosx.(1)由f(α)＝，得sinα＝.又α是第一象限角，所以cosα＞0.从而g(α)＝1－cosα＝1－＝1－＝.(2)f(x)≥g(x)等价于sinx≥1－cosx，即sinx＋cosx≥1.于是sin(x＋)≥.从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为{x|2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z}．2．解(1)由已知及正弦定理，得sinC＝sinAsinC－sinCcosA.∵C∈(0，π)，∴sinC≠0，∴＝sinA－cosA，即sinAcos－cosAsin＝，sin(A－)＝.∵0＜A＜π，∴－＜A－＜，∴A－＝，∴A＝.(2)由三角形面积公式得S＝bcsin＝，得bc＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos＝b2＋c2＋bc＝12，∴b＋c＝4，∴b＝c＝2.3．解(1)f(x)＝m·n＝Asinxcosx＋cos2x＝A(sin2x＋cos2x)＝Asin(2x＋)．因为f(x)的最大值为6，A＞0，所以A＝6.(2)由(1)得f(x)＝6sin(2x＋)．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位后得到y＝6sin[2(x＋)＋]＝6sin(2x＋)的图象；再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到y＝6sin(4x＋)的图象．因此g(x)＝6sin(4x＋)，又x∈[0，]，所以4x＋∈[，]．故g(x)在[0，]上的值域为[－3,6]．4．解(1)设D(t,0)(0≤t≤1)，由题意知C(－，)，所以OC＋OD＝(－＋t，)，所以|OC＋OD|2＝－t＋t2＋＝t2－t＋1＝(t－)2＋(0≤t≤1)．所以当t＝时，|OC＋OD|最小，为.(2)由题意得C(cosx，sinx)，m＝BC＝(cosx＋1，sinx)，则m·n＝1－cos2x＋sin2x－2sinxcosx＝1－cos2x－sin2x＝1－sin(2x＋)．因为x∈[0，]，所以≤2x＋≤，所以当2x＋＝，即x＝时，sin(2x＋)取得最大值1.所以m·n的最小值为1－，此时x＝.5．解(1)f(x)＝(1＋cos2ωx)＋sin2ωx＝sin(2ωx＋)＋，因为f(x)的最小正周期为π，且ω＞0，所以＝π，解得ω＝1，所以f(x)＝sin(2x＋)＋.又0≤x≤，则≤2x＋≤，所以－≤sin(2x＋)≤1，所以0≤sin(2x＋)＋≤＋1，即函数y＝f(x)在x∈[0，]上的值域为[0，＋1]．(2)因为f()＝，所以sin(A＋)＝.由A∈(0，π)，知＜A＋＜，解得A＋＝，所以A＝.由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝b2＋c2－bc，所以16＝(b＋c)2－3bc.因为b＋c＝5，所以bc＝3，所以S△ABC＝bcsinA＝.
