训练目标(1)求数列通项的常用方法；(2)等差、等比数列知识的深化应用．训练题型(1)由数列的递推公式求数列的通项；(2)由数列的前n项和求通项．解题策略求数列通项的常用方法：(1)公式法；(2)累加法；(3)累乘法；(4)构造法.1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝____________.2．(2016·南京模拟)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.3．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝－2an＋3，则数列{an}的通项公式an＝________________.4．(2016·南通、扬州、泰州三模)在等差数列{an}中，若an＋an＋2＝4n＋6(n∈N*)，则该数列的通项公式an＝________.5．(2016·常州模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足4(n＋1)(Sn＋1)＝(n＋2)2an，则数列{an}的通项公式an＝____________.6．数列{an}满足a1＝0，an＋1＝(n∈N*)，则a2015＝________.7．定义：称为n个正数x1，x2，…，xn的“平均倒数”，若正项数列{cn}的前n项的“平均倒数”为，则数列{cn}的通项公式cn＝________.8．已知数列{an}满足：a1＝1，an＝n＝2,3,4，…，设bn＝a＋1，n＝1,2,3，…，则数列{bn}的通项公式是________．9．数列{an}中，a1＝1，an＝3an－1＋3n＋4(n∈N*，n≥2)，若存在实数λ，使得数列为等差数列，则λ＝____________.10．已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.(1)若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．答案精析1．2＋lnn2.2n3.(－2)n－1＋14.2n＋15．(n＋1)3解析当n＝1时，4(1＋1)(a1＋1)＝(1＋2)2a1，解得a1＝8，当n≥2时，由4(Sn＋1)＝，得4(Sn－1＋1)＝，两式相减，得4an＝－，即＝，所以an＝··…··a1＝××…××8＝(n＋1)3，经验证n＝1时也符合，所以an＝(n＋1)3.6．－解析由an＋1＝，得a2＝＝－，a3＝＝＝，a4＝＝＝0，所以数列{an}的循环周期为3.故a2015＝a3×671＋2＝a2＝－.7．4n－1解析由已知可得，数列{cn}的前n项和Sn＝n(2n＋1)，所以数列{cn}为等差数列，首项c1＝S1＝3，c2＝S2－S1＝10－3＝7，故公差d＝c2－c1＝7－3＝4，得数列的通项公式为cn＝c1＋(n－1)×4＝4n－1.8．bn＝2n解析由题意得，对于任意的正整数n，bn＝a＋1，所以bn＋1＝a＋1，又a＋1＝2(a＋1)＝2bn，所以bn＋1＝2bn，又b1＝a1＋1＝2，所以{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，所以bn＝2n.9．2解析设bn＝，得an＝3nbn－λ，代入已知得3nbn－λ＝3(3n－1bn－1－λ)＋3n＋4，变形为3n(bn－bn－1－1)＝－2λ＋4，这个式子对大于1的所有正整数n都成立．由于{bn}是等差数列，bn－bn－1是常数，所以bn－bn－1－1＝0，即－2λ＋4＝0，可得λ＝2.10．解(1)因为{an}是递增数列，所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.又a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2＝a1＋3a3，即3p2－p＝0，解得p＝或p＝0.当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1＞0，于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)＞0.①因为＜，所以|a2n＋1－a2n|＜|a2n－a2n－1|.②由①②知，a2n－a2n－1＞0，因此a2n－a2n－1＝()2n－1＝.③因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n＜0，故a2n＋1－a2n＝－()2n＝.④由③④可知，an＋1－an＝.于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝1＋－＋…＋＝1＋·＝＋·.故数列{an}的通项公式为an＝＋·.
