1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cosθ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a·(λb)＝λ(a·b)＝λa·b(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|AB|＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(√)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．(√)(3)在四边形ABCD中，AB＝DC且AC·BD＝0，则四边形ABCD为矩形．(×)(4)两个向量的夹角的范围是[0，]．(×)(5)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(×)(6)(a·b)c＝a(b·c)．(×)1．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|＝________.答案解析由题意可得a·b＝|b|cos30°＝|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2|b|＋b2＝1，由此求得|b|＝.2．(2015·山东改编)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝________.答案a2解析如图所示，由题意，得BC＝a，CD＝a，∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×＝3a2，∴BD＝a.∴BD·CD＝|BD||CD|cos30°＝a2×＝a2.3．已知单位向量e1，e2的夹角为α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝________.答案3解析 |a|2＝a·a＝(3e1－2e2)·(3e1－2e2)＝9|e1|2－12e1·e2＋4|e2|2＝9－12×1×1×＋4＝9.∴|a|＝3.4．已知A，B，C为圆O上的三点，若AO＝(AB＋AC)，则AB与AC的夹角为________．答案90°解析由AO＝(AB＋AC)可知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC＝90°，所以AB与AC的夹角为90°.5．(教材改编)已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案－2解析由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cosθ＝4×cos120°＝－2.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2015·四川)设四边形ABCD为平行四边形，|AB|＝6，|AD|＝4，若点M，N满足BM＝3MC，DN＝2NC，则AM·NM＝________.(2)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．答案(1)9(2)11解析(1)AM＝AB＋AD，NM＝CM－CN＝－AD＋AB，∴AM·NM＝(4AB＋3AD)·(4AB－3AD)＝(16AB2－9AD2)＝(16×62－9×42)＝9.(2)方法一以射线AB，AD为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，设E(t,0)，t∈[0,1]，则DE＝(t，－1)，CB＝(0，－1)，所以DE·CB＝(t，－1)·(0，－1)＝1.因为DC＝(1,0)，所以DE·DC＝(t，－1)·(1,0)＝t≤1，故DE·DC的最大值为1.方法二由图知，无论E点在哪个位置，DE在CB方向上的投影都是CB＝1，∴DE·CB＝|CB|·1＝1，当E运动到B点时，DE在DC方向上的投影最大即为DC＝1，∴(DE·DC)max＝|DC|·1＝1.思维升华(1)求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．(2)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，可先利用向量的加、减运算或数量积的运算律化简再运算，但一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(1)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，则AB·AD＝__...
