第3讲平面向量的数量积及应用举例1．(2019·无锡质检)已知向量a＝(2，1)，b＝(5，－3)，则a·b的值为________．解析：因为a·b＝(2，1)·(5，－3)＝10－3＝7.答案：72．等边三角形ABC的边长为1，BC＝a，CA＝b，AB＝c，那么a·b＋b·c＋c·a＝________．解析：由题意知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°，c与a的夹角也为120°.故a·b＋b·c＋c·a＝－.答案：－3．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________．解析：因为(a＋kb)⊥(a－kb)，所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，即|a|2－k2|b|2＝0.又因为|a|＝3，|b|＝4，所以k2＝，即k＝±.答案：±4．(2019·南京市高三年级第三次模拟考试)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D为边BC上一点．若AB·AD＝5，AC·AD＝－，则AB·AC的值为________．解析：因为D为BC边上一点，所以可设AD＝xAB＋yAC，x＋y＝1，x>0，y>0①，则AB·AD＝AB·(xAB＋yAC)＝9x＋yAB·AC＝5②，AC·AD＝AC·(xAB＋yAC)＝xAB·AC＋4y＝－③，联立①②③，可得AB·AC＝－3或，当AB·AC＝时不满足x，y>0，舍去，故AB·AC＝－3.答案：－35．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝________.解析：由题意得：＝⇒＝⇒＝⇒m＝2.答案：26．(2019·南通市高三第一次调研测试)在△ABC中，若BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB，则的值为________．解析：由BC·BA＋2AC·AB＝CA·CB，得2bc×＋ac×＝ab×，化简可得a＝c.由正弦定理得＝＝.答案：7．(2019·南京高三模拟)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且AC·BD＝0，(AB＋DC)·(BC＋AD)＝5，则四边形ABCD的面积为________．解析：(AB＋DC)·(BC＋AD)＝(CB－CA＋DC)·(DC－DB＋AD)＝(DB＋AC)·(AC－DB)＝AC2－DB2＝5，即AC2－BD2＝5.因为BD＝2，所以AC＝3，所以四边形ABCD的面积为AC×BD＝×2×3＝3.答案：38．(2019·徐州月考)平面向量a，b满足|a|＝2，|a＋b|＝4，且向量a与向量a＋b的夹角为，则|b|为________．解析：因为向量a与向量a＋b的夹角为，所以cos＝＝＝，解得a·b＝0，即a⊥b.所以|a|2＋|b|2＝|a＋b|2，从而解得，|b|＝2.答案：29．在△ABC中，AB＝10，AC＝6，O为BC的垂直平分线上一点，则AO·BC＝________．解析：取BC边的中点D，连结AD，则AO·BC＝(AD＋DO)·BC＝AD·BC＋DO·BC＝AD·BC＝(AB＋AC)·(AC－AB)＝(AC2－AB2)＝(62－102)＝－32.答案：－3210.(2019·南京市、盐城市高三年级第一次模拟考试)如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置如图所示，则AB·CD的最大值为________．解析：以B为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系．因为正六边形的边长均为1，所以B(0，0)，A，当CD在AB方向上的投影最大时，AB·CD最大．C，D两点位于图中的“晶格点”处，由蜂巢结构图的对称性，取C(0，5)，当D的坐标为(－，0)时，AB·CD最大，此时AB·CD＝·(－，－5)＝24.答案：2411.如图，在△OAB中，已知P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB.(1)如果BP＝2PA，求x，y的值；(2)如果BP＝3PA，|OA|＝4，|OB|＝2，且OA与OB的夹角为60°时，求OP·AB的值．解：(1)由BP＝2PA，所以OP－OB＝2(－OP＋OA)，即3OP＝2OA＋OB，所以x＝，y＝.(2)OP＝OB＋BP＝OB＋BA＝OB＋(OA－OB)＝OA＋OB，AB＝OB－OA，所以OP·AB＝·(OB－OA)＝－OA2＋OB2＋OA·OB＝－9.12．已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．解：(1)证明：因为m∥n，所以asinA＝bsinB，即a·＝b·，其中R是三角形ABC外接圆的半径，所以a＝b.所以△ABC为等腰三角形．(2)由题意可知m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0.所以a＋b＝ab.由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，所以ab＝4(舍去ab＝－1)，所以S＝absinC＝×4×sin＝.1．已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．解析：a与b的夹角为锐角...
