第37练平面向量基本定理及坐标表示[基础保分练]1.已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，若向量a＋2b与a平行，则m＝________.2.若向量a＝(3,1)，b＝(7，－2)，则a－b的坐标是________.3.已知点A(1,1)，B(－1,5)，向量AC＝2AB，则点C的坐标为________.4.(2018·苏州模拟)已知向量a＝(3，－1)，b＝(－1,2)，c＝(2,1)，若a＝xb＋yc(x，y∈R)，则x＋y＝________.5.在△BOA中，点C满足AC＝－4CB，OC＝xOA＋yOB，则y－x＝________.6.设M是△ABC的边BC上任意一点，且NM＝4AN，若AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ＝________.7.(2018·盐城模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AF＝xAB＋yAE(x，y∈R)，则x＋y＝________.8.如图，在△ABC中，AD＝AC，BP＝BD，若AP＝λAB＋μAC，则的值为________.9.已知G为△ABC的重心，点P，Q分别在边AB，AC上，且存在实数t，使得PG＝tPQ.若AP＝λAB，AQ＝μAC，则＋＝________.10.如图，设O是△ABC内部一点，且OA＋OC＝－2OB，则△AOB与△AOC的面积之比为________.[能力提升练]1.已知向量a＝(2sinθ，1)，b＝(cosθ，－1)，θ∈，且a∥b，则tanθ＝________.2.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连结CE，DF交于点G，若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，则＝________.3.已知OA＝(1,0)，OB＝(1,1)，(x，y)＝λOA＋μOB.若0≤λ≤1≤μ≤2时，z＝＋(m>0，n>0)的最大值为2，则m＋n的最小值为________.4.如图所示，在△ABC中，AD＝DB，F在线段CD上，设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则＋的最小值为________.5.(2019·盐城模拟)若点C在以P为圆心，6为半径的(包括A，B两点)上，∠APB＝AB120°，且PC＝xPA＋yPB，则2x＋3y的取值范围为________.6.若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5AM＝AB＋3AC，则△ABM与△ABC的面积比为________.答案精析基础保分练1.－2.(－4,3)3.(－3,9)4.05.6.7.解析设正方形的边长为a，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立平面直角坐标系，则AB＝(a,0)，AE＝，AF＝，∵AF＝xAB＋yAE，∴＝，解得x＋y＝.8.39.3解析设AB＝c，AC＝b，连结AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故AM＝(b＋c)，AG＝AM＝(b＋c)，故PG＝AG－AP＝c＋b，又PQ＝AQ－AP＝μAC－λAB＝μb－λc，存在实数t使得PG＝tPQ，即解得＋＝3.10.解析如图，设M是AC的中点，则OA＋OC＝2OM.又OA＋OC＝－2OB，∴OM＝－OB，即O是BM的中点，∴S△AOB＝S△AOM＝S△AOC，即＝.能力提升练1.－2.3.＋解析(x，y)＝λOA＋μOB＝(λ＋μ，μ)⇒λ＝x－y，μ＝y，所以0≤x－y≤1≤y≤2，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线z＝＋的斜率小于零知，直线z＝＋过点(3,2)时取得最大值，即＋＝2，因此m＋n＝(m＋n)·＝≥＝＋，当且仅当＝时取等号.4.6＋45.解析以点P为原点建立如图所示的平面直角坐标系.由题意得A(6,0)，B(－3,3)，设∠APC＝θ，则点C的坐标为(6cosθ，6sinθ).∵PC＝xPA＋yPB，∴(6cosθ，6sinθ)＝x(6,0)＋y(－3,3)＝(6x－3y,3y)，∴解得∴2x＋3y＝2＋3×sinθ＝sinθ＋2cosθ＝sin(θ＋φ)，其中sinφ＝，cosφ＝，∵0≤θ≤，∴≤sin(θ＋φ)≤1，∴2≤sin(θ＋φ)≤.∴2x＋3y的取值范围为.6.解析如图，M是△ABC所在平面内的一点，连结AM，BM，延长AC至D使AD＝3AC，延长AM至E使AE＝5AM，如图所示，因为5AM＝AB＋3AC，所以AB＝5AM－3AC＝DE，连结BE，则四边形ABED是平行四边形(向量AB和向量DE平行且模相等)，由于AD＝3AC，所以S△ABC＝S△ABD，S△AMB＝S△ABE，在平行四边形ABED中，S△ABD＝S△ABE＝平行四边形ABED面积的一半，故△ABM与△ABC的面积比＝＝.
